Решение: Игра с двумя кучами
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч 4 камня или увеличить количество камней в одной из куч в 2 раза.
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 133. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший игровую позицию, при которой в двух кучах 133 камня или больше.
В начальный момент в первой куче было 17 камней, во второй куче — $S$ камней; $1 \leq S \leq 115$. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети. Укажите минимальное значение $S$, при котором такая ситуация возможна.
Решение по шагам
4 шагаИз начальной позиции $(17, S)$ Петя может получить позиции $(21, S)$, $(17, S+4)$, $(34, S)$ или $(17, 2S)$.
Проверим, при каком минимальном $S$ после одного из этих ходов Ваня сможет сразу закончить игру. Наиболее выгодный вариант — Петя удваивает вторую кучу, после чего Ваня также удваивает её.
$$17 + 2S \xrightarrow{\text{удвоение второй кучи}} 17 + 4S$$Для победы Вани должно выполняться неравенство $17 + 4S \geq 133$.
$$4S \geq 116,\quad S \geq 29$$При $S = 29$ Петя получает позицию $(17, 58)$, а Ваня удваивает вторую кучу: $(17, 116)$. Сумма становится равной $133$, поэтому Ваня выигрывает своим первым ходом.
Где здесь ошибаются
Рассматривать только добавление 4 камней и не учитывать удвоение кучи.
Считать, что для победы нужна сумма ровно 133, хотя условие допускает сумму 133 или больше.
Проверять только начальную сумму $17 + S$, не анализируя ход Пети и ответный ход Вани.