Решение: Стратегия в игре с числами
Два игрока, Петя и Ваня, играют с парой неотрицательных целых чисел. Первый ход делает Петя. За один ход игрок заменяет одно из чисел пары на сумму обоих чисел. Игра заканчивается, когда сумма чисел становится не менее 36. Побеждает игрок, сделавший последний ход.
Перед ходом Пети на табличке записана пара чисел $(9, S)$. Требуется найти минимальное значение $S$, при котором Петя может выиграть одним ходом.
Для начальной позиции $(5, 11)$ требуется определить игрока, имеющего выигрышную стратегию, и описать эту стратегию.
Для начальной позиции $(3, 6)$ требуется определить игрока, имеющего выигрышную стратегию, и построить дерево всех партий, возможных при реализации этой стратегии. В узлах дерева должны быть указаны позиции. Дерево не должно содержать партии, невозможные при реализации выигрышной стратегии.
Решение по шагам
7 шаговВ первом задании Петя может заменить число $9$ на сумму чисел и получить позицию $(9+S,S)$. Её сумма равна $9+2S$. Для победы одним ходом необходимо:
$$9+2S\geq36$$Получаем $2S\geq27$, то есть $S\geq13{,}5$. Так как $S$ — целое число, минимальное значение равно $14$. При замене числа $S$ условие было бы $18+S\geq36$, то есть $S\geq18$, поэтому найденное значение действительно минимально.
$$S_{\min}=14$$Во втором задании из позиции $(5,11)$ Петя может перейти в $(16,11)$ или $(5,16)$. В первом случае Ваня заменяет число $11$ и получает $(16,27)$ с суммой $43$. Во втором случае Ваня заменяет число $5$ и получает $(21,16)$ с суммой $37$. В обоих случаях Ваня выигрывает своим первым ходом.
$$5+11=16<36$$Следовательно, при начальной позиции $(5,11)$ выигрышная стратегия есть у Вани: после хода Пети $(5,11)\to(16,11)$ он делает $(16,11)\to(16,27)$, а после хода $(5,11)\to(5,16)$ делает $(5,16)\to(21,16)$.
В третьем задании Петя делает ход $(3,6)\to(9,6)$. Ваня может получить либо $(15,6)$, либо $(9,15)$.
Если Ваня получил $(15,6)$, Петя заменяет число $6$ и получает $(15,21)$; сумма равна $36$. Если Ваня получил $(9,15)$, Петя заменяет число $9$ и получает $(24,15)$; сумма равна $39$. Значит, Петя выигрывает независимо от хода Вани.
$$15+21=36,\quad 24+15=39$$Дерево партий при выбранной стратегии Пети: $(3,6)\to(9,6)\to(15,6)\to(15,21)$ или $(3,6)\to(9,6)\to(9,15)\to(24,15)$.
1) $S=14$. 2) Выигрышная стратегия есть у Вани: после $(16,11)$ получить $(16,27)$, после $(5,16)$ получить $(21,16)$. 3) Выигрышная стратегия есть у Пети: $(3,6)\to(9,6)$; далее $(15,6)\to(15,21)$ или $(9,15)\to(24,15)$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Проверяют только один возможный ход соперника и не описывают стратегию для остальных ходов.
Путают игрока, который первым получает сумму не менее 36, с игроком, делающим следующий ход.
В первом задании забывают, что $S$ должно быть целым числом.
В дерево третьего задания включают полное дерево игры, включая партии, которые не соответствуют выбранной выигрышной стратегии.