Выигрышная стратегия в игре
Два игрока, Петя и Ваня, играют в игру с кучей камней. Первый ход делает Петя. За один ход можно убрать 3 или 5 камней либо уменьшить количество камней в 4 раза, округлив результат вниз. Игра завершается, когда в куче становится не более 10 камней; победителем считается игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в куче было $S$ камней, $S \ge 11$. Укажите минимальное значение $S$, при котором Петя не может выиграть за один ход, но после любого хода Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: – убрать из кучи 3 камня; – убрать из кучи 5 камней; – уменьшить количество камней в куче в 4 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего). Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 17, 15 или 5 камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 10. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 10 или менее камней. В начальный момент в куче было S камней, S ≥ 11. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом. | |||
| |
Формат: число или слово без единиц измерения; дробную часть отделяйте запятой.
1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
При каком условии Петя может выиграть одним ходом?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Для того чтобы Петя не выиграл сразу, после каждого из его ходов должно остаться более 10 камней: $S-3>10$, $S-5>10$, $\left\lfloor S/4\right\rfloor>10$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Наименьшее значение, удовлетворяющее последнему неравенству, — $S=44$. После ходов Пети получаются позиции $41$, $39$ и $11$, из которых Ваня сразу выигрывает ходом деления на 4 или удалением 3 камней.