Ответ: Стратегии в игре с камнями
1а) $S=33,34,\ldots,64$: выигрыш удвоением; при $S=64$ также можно прибавить один камень. 1б) $S=32$: после хода Пети Ваня получает $33$ или $64$ и выигрывает следующим ходом. 2) $S=16$ и $S=31$: Петя переводит игру в $32$, после чего выигрывает после любого хода Вани. 3) $S=29$: Ваня отвечает переводом в $31$ или $59$, после чего выигрывает не позднее своего второго хода.
У этого задания официального ключа нет, поэтому ответ получен в разборе и с ключом не сверен. Перед тем как заучивать результат, пройдите выкладки — там видно, откуда взялось каждое число.
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 65. Побеждает игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в куче было $S$ камней, $1 \leq S \leq 64$.
Выполните следующие задания. Во всех случаях обосновывайте ответ.
Задание 1. Укажите все такие значения $S$, при которых Петя может выиграть в один ход, и соответствующие выигрывающие ходы. Укажите такое значение $S$, при котором Петя не может выиграть за один ход, но после любого его хода Ваня может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Вани.
Задание 2. Укажите два значения $S$, при которых Петя не может выиграть за один ход, но может выиграть своим вторым ходом независимо от хода Вани. Для каждого значения опишите выигрышную стратегию Пети.
Задание 3. Укажите значение $S$, при котором у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, но нет стратегии, позволяющей гарантированно выиграть первым ходом. Опишите стратегию Вани. Постройте дерево всех партий, возможных при этой стратегии Вани: на рёбрах укажите ходы, в узлах — позиции.
Где здесь ошибаются
Считать позицию $32$ проигрышной, хотя из неё можно получить $64$, а затем победить прибавлением одного камня.
Забывать, что игра заканчивается сразу после получения 65 или более камней.
Для задания 2 выбирать позиции, из которых нельзя перевести игру именно в $32$.
Не рассматривать оба возможных хода соперника при построении стратегии.