Шешімі: Подсчёт наборов логических переменных
Сколько существует различных наборов значений логических переменных $x_1, x_2, \ldots, x_7, y_1, y_2, \ldots, y_7$, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
$(x_1 \land y_1) \equiv (\lnot x_2 \lor \lnot y_2)$
$(x_2 \land y_2) \equiv (\lnot x_3 \lor \lnot y_3)$
$\ldots$
$(x_6 \land y_6) \equiv (\lnot x_7 \lor \lnot y_7)$
Шешім по шагам
4 қадамОбозначим $z_i = x_i \land y_i$. Правая часть каждого равенства преобразуется по закону де Моргана:
$$\lnot x_{i+1} \lor \lnot y_{i+1} \equiv \lnot(x_{i+1} \land y_{i+1}) = \lnot z_{i+1}$$Следовательно, система требует, чтобы соседние значения $z_i$ и $z_{i+1}$ были противоположными. Поэтому возможны только два чередующихся набора значений: $0101010$ и $1010101$.
Если $z_i=1$, то пара $(x_i,y_i)$ единственна: $(1,1)$. Если $z_i=0$, то возможны три пары: $(0,0)$, $(0,1)$ и $(1,0)$.
В наборе $0101010$ четыре нулевых значения и три единичных, поэтому число вариантов равно $3^4$. В наборе $1010101$ три нулевых значения и четыре единичных, поэтому число вариантов равно $3^3$.
$$3^4 + 3^3 = 81 + 27 = 108$$Где здесь ошибаются
Считать только один из двух нұсқа чередования значений $z_i$.
Считать для $z_i=0$ не три, а два набора значений пары $(x_i,y_i)$.
Забыть, что при $z_i=1$ возможен только набор $(1,1)$.