Шешімі: Выигрышная стратегия в игре
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 38. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой находится 38 или больше камней.
В начальный момент в куче было $S$ камней, $1 \leq S \leq 37$.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите минимальное значение $S$, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.
Шешім по шагам
4 қадамПетя не должен иметь возможности выиграть одним ходом. Поэтому после любого его первого хода количество камней должно быть меньше 38: $S+1<38$ и $2S<38$.
Чтобы Ваня мог выиграть своим первым ходом после любого хода Пети, из обеих возможных позиций Пети должно быть возможно получить не менее 38 камней.
После добавления одного камня Ваня может выиграть удвоением, если $2(S+1)\geq 38$, то есть $S\geq 18$. После удвоения Петей Ваня также может выиграть: при $S=18$ получается 36 камней, и добавлением одного камня Ваня получает 37, но удвоением получает 72.
Минимальное подходящее значение — $S=18$. При этом Петя не может выиграть сразу: из 18 камней он получает 19 или 36, а не 38 и более.
Где здесь ошибаются
Проверяют только один возможный ход Пети.
Считают выигрышной позицию, из которой можно получить ровно 37 камней.
Забывают, что игра заканчивается сразу после достижения 38 камней.