Ответ: Стратегии в игре с камнями
Задание 1: а) $S=14,15,\ldots,67$; б) $S=2$. Задание 2: $S=9$ и $S=12$. Задание 3: $S=8$; стратегия Вани: из 9 перейти в 13, из 12 перейти в 13, из 40 сразу умножить на 5, затем из 14, 17 или 65 умножить на 5.
У этого задания официального ключа нет, поэтому ответ получен в разборе и с ключом не сверен. Перед тем как заучивать результат, пройдите выкладки — там видно, откуда взялось каждое число.
Два игрока, Петя и Ваня, играют в игру с кучей камней. Первый ход делает Петя. За один ход можно добавить в кучу 1 или 4 камня либо увеличить количество камней в 5 раз. Игра завершается, когда количество камней становится не менее 68. Побеждает игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в куче было $S$ камней, $1 \leq S \leq 67$.
Игрок имеет выигрышную стратегию, если может выиграть при любых ходах противника. В описании стратегии не следует указывать ходы, которые не являются безусловно выигрышными.
Выполните следующие задания. Во всех случаях обоснуйте ответ.
Задание 1. Укажите все значения $S$, при которых Петя может выиграть за один ход. Укажите такое значение $S$, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом. Опишите стратегию Вани.
Задание 2. Укажите два значения $S$, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, Петя не может выиграть за один ход, но может выиграть своим вторым ходом независимо от хода Вани. Для каждого значения опишите стратегию Пети.
Задание 3. Укажите значение $S$, при котором у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, но нет стратегии, позволяющей ему гарантированно выиграть первым ходом. Опишите стратегию Вани. Постройте дерево всех партий, возможных при этой стратегии Вани. На рёбрах дерева укажите, кто делает ход, а в узлах — количество камней в куче. Дерево не должно содержать партии, невозможные при реализации выигрышной стратегии Вани.
Где здесь ошибаются
Считать, что из позиции 3 можно выиграть первым ходом умножением на 5.
Включать в дерево партии, в которых Ваня не использует указанную выигрышную стратегию.
Забывать, что игра заканчивается сразу после получения не менее 68 камней.
Указывать для задания 2 позиции, из которых Петя может выиграть уже первым ходом.