Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 15 Февраля

Центральный угол на $\mathrm{72°}$ больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Определите величину вписанного угла. Ответ дайте в градусах.

Найдите длину вектора $\overrightarrow{a}(75;100)$.

Шар объемом $90$ вписан в цилиндр. Найдите объем этого цилиндра.

В соревнованиях по лыжам принимают участие 75 спортсменов: 17 представляют Италию, 34 — Египет, остальные спортсмены — ЮАР. Выступление спортсменов начинается по жребию. Какова вероятность того, что спортсмен, выступающий первым будет представителем ЮАР?

По результатам трехкратного броска игральной кости в сумме выпало 7 очков. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало 1 очко?

Найдите корень уравнения ${(11-x)}^3=125$. Если корней несколько, в ответе укажите наименьший корень.

Найдите значение выражения $\frac{{\left(3\sqrt{3}\right)}^2}{1}$

На рисунке изображён график производной функции $\mathrm{q(x)}$, y = $\mathrm{q\text{'}(x)}$, определённой на интервале (-7; 8). В какой точке отрезка [-6; 7] значение функции $\mathrm{q(x)}$ минимально?

Катер, двигаясь по реке со скоростью 16.0 м/с, начал снижать скорость с ускорением 2.4 м/с². За t секунд с момента начала снижения скорости он прошел 50 метров. Путь вычисляется по формуле $S=V_0\cdot t-\frac{a\cdot t^2}{2}$. Найдите время торможения.

Две трубы наполняют бассейн водой. Первая труба наполняет бассейн объёмом 660 литров на 5 часов медленнее, чем вторая, пропуская на 11 литров воды в час меньше. За сколько часов вторая труба наберёт воду в бассейн?

График функции $f\left(x\right)=a^x+b$ изображен на рисунке. Определите значение функции $f\left(2\right)$.

Найдите минимум функции $2\cdot \sqrt{3}\cdot \cos \left(x\right)-\frac{6}{\pi }\cdot x+10$ на интервале $[\frac{5\cdot \pi }{6}-10\cdot \pi ;\frac{5\cdot \pi }{6}+6\cdot \pi ]$.

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение $-(2\cdot {\cos }^2(x)-1)\cdot (4\cdot {\sin }^3(\frac{x}{3})-3\cdot \sin (\frac{x}{3}\left)\right)+\sin \left(x\right)+2\cdot \sin (60°)\cdot (1-{\sin }^2(x\left)\right)=0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{19\cdot \pi }{3};\frac{23\cdot \pi }{3}]$

Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $B{D}_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.

а) Докажите, что грань $ABCD$ — квадрат.

б) Найдите площадь $BMDN$, если $D{D}_1$ = 16, $DA$ = 14.

Решите неравенство $$ \frac{8^{x+1}+{56}^x+7^{x+1}+56}{x^2+11\cdot x+18}$\ge 0$.

Заемщик берет в кредит целое число миллионов рублей на 7 лет. Каждый год долг возрастает на 30%. В 1, 2, 3, 4, 5 годах выплачиваются только проценты. В остальные года заемщик выплачивает одинаковые суммы, которые полностью погашают долг. Определите наибольшую сумму кредита, чтобы общая выплата была меньше 89 млн рублей.

Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника $\mathrm{ABCD}$ перпендикулярно диагонали $\mathrm{AC}$, пересекает сторону $\mathrm{AD}$ в точке $M$, равноудалённой от вершин $B$ и $D$.
a) Докажите, что $\mathrm{\angle ABM}=\mathrm{\angle ACB}=30°$.
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой $\mathrm{CM}$, если $\mathrm{BC}=\mathrm{37}$.

Для каких значений параметра a уравнение $\sqrt{x^4-81\cdot x^2+4\cdot a^2}=x^2+9\cdot x-2\cdot a$ будет иметь ровно $3$ решения?

Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S.

1) Может ли сумма быть равна 81?
2) Может ли сумма быть равна 1692?
3) Какое самое маленькое значение может принимать целое S для 4-значных исходных чисел?