Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 04 Марта

Для треугольника $SDR$ с гипотенузой $\mathrm{DR\; =\; 25}$ и катетом $\mathrm{SD\; =\; 24}$, угол $S$ равен 90°. Найдите $\mathrm{sinR}$.

Даны векторы $\overrightarrow{a}(3;12)$ и $\overrightarrow{b}''(28;\; 16)''$. Найдите их скалярное произведение.

Вычислите объём многогранника, образованного вершинами $P_1$, $Q_1$, $R_1$, $Q$ правильной треугольной призмы $P$$Q$$R$$P_1$$Q_1$$R_1$, с площадью основания $15$ и высотой $65$.

Фабрика по производству велосипедов собирает 125 велосипедов в год, и 16 велосипедов имеют проблемы с цепями. Найдите вероятность того, что случайно выбранный велосипед окажется без дефектов.

На пляже в выходной день прогнозируется определенное количество отдыхающих. Вероятность того, что будет больше 33 человек, равна 0.55. Вероятность того, что будет больше 17 человек, равна 0.46. Найдите вероятность того, что количество отдыхающих будет от 18 до 33.

Найдите корень уравнения: $2^{4\cdot \mathrm{x\; +\; 6}}=4$.

Вычислите значение для $\frac{{\left(1\sqrt{11}\right)}^4}{11}$

На рисунке изображён график производной функции $\mathrm{g(x)}$, y = $\mathrm{g\text{'}(x)}$, определённой на интервале (-4; 7). В какой точке отрезка [-3; 6] значение функции $\mathrm{g(x)}$ минимально?

Микроскоп использует линзу с фокусным расстоянием 15 см для получения четкого изображения образца. Расстояние $d_1$ от образца до линзы можно изменять в пределах от 3 см до 20 см, а расстояние $d_2$ от линзы до окуляра — от 80 см до 90 см. Изображение будет четким, если выполняется условие $\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}$. На каком минимальном расстоянии от линзы должен быть расположен образец, чтобы изображение было четким? Ответ дайте в сантиметрах.

Человек поднялся по эскалатору на расстояние 12 м, а затем спустился обратно, затратив на обратный путь на 8 секунд меньше. Определите скорость человека, если скорость эскалатора равна 1 м/с.

График функции $f\left(x\right)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ изображен на рисунке. Вычислите значение функции $f\left(x\right)$ в точке $x=5$.

Найдите точку максимума функции $y=13\cdot x^3+18\cdot x^2-3\cdot x+1$

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение $2\cdot \sin \left(\frac{x}{2}\right)\cdot (1-2\cdot {\sin }^2(x\left)\right)\cdot \cos \left(\frac{x}{2}\right)+2\cdot (1-{\sin }^2(x\left)\right)\cdot \cos (150°)+\sin \left(x\right)=0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[6\cdot \pi ;\frac{23\cdot \pi }{3}]$

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём ${\mathrm{CC}}_1$ — образующая цилиндра, а $\mathrm{AC}$ — диаметр основания. Известно, что $\mathrm{\angle ACB}=\mathrm{30°}$, $\mathrm{AB}=9$ см, ${\mathrm{CC}}_1=9\cdot \sqrt{2}$ см.

а) Докажите, что угол между прямыми ${\mathrm{AC}}_1$ и $\mathrm{BC}$ равен $\mathrm{45°}$.

б) Найдите объём цилиндра.

Решите неравенство $$ \frac{{12}^x-3^{x+1}-4^{x+1}+12}{x^2-1\cdot x-20}$\le 0$.

Заемщик берет в кредит целое число миллионов рублей на 8 лет. Каждый год долг возрастает на 20%. В 1, 2, 3, 4, 5, 6 годах выплачиваются только проценты. В остальные года заемщик выплачивает одинаковые суммы, которые полностью погашают долг. Определите наименьшую сумму кредита, чтобы общая выплата была больше 88 млн рублей.

Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника $\mathrm{ABCD}$ перпендикулярно диагонали $\mathrm{AC}$, пересекает сторону $\mathrm{AD}$ в точке $M$, равноудалённой от вершин $B$ и $D$.
a) Докажите, что $\mathrm{\angle ABM}=\mathrm{\angle ACB}=30°$.
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой $\mathrm{CM}$, если $\mathrm{BC}=\mathrm{37}$.

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение $\sqrt{x^4-36\cdot x^2+100\cdot a^2}=x^2+6\cdot x-10\cdot a$ имеет ровно $3$ решения.

Есть три коробки. В одной из них 72 камней, в другой — 0, а в третьей — 115. Произвели несколько ходов, перекладывая по одному камню из двух любых коробок в третью.

а) Могло ли в первой коробке остаться 88 камней, во второй — 0, а в третьей — 99?

б) Может ли в третьей коробке оказаться 187 камень?

в) В первой коробке остался 1 камень. Какое максимальное количество камней могло оказаться в второй коробке?