Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 08 Января

В прямоугольном треугольнике $UYQ$, где угол $U$ равен 90°, $\mathrm{YQ\; =\; 90}$, а $\mathrm{UY\; =\; 72}$. Найдите $\mathrm{sinQ}$.

Найдите длину вектора $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{RP}}'',\; если\; диагонали\; ромба\; PQRS\; равны\; 48\; и\; 14''$.

Шар вписан в конус. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 52. Найдите объем конуса.

Монету бросили 4 раза. Какова вероятность выпадения орла ровно 2 раза?

Производится контроль рабочего времени. Вероятность того, что количество рабочих часов окажется больше 1800, равна 0.88. Вероятность того, что количество рабочих часов окажется меньше 1832, равна 0.74. Найдите вероятность того, что время работы больше 1800 ч. но меньше 1832 ч., если в данной задаче время считается непрерывной величиной.

Найдите корень уравнения ${(x-2)}^2=9$. Если корней несколько, в ответе укажите наибольший корень.

Найдите итоговое значение выражения $\frac{{\left(2\sqrt{11}\right)}^2}{11}$

На графике показана функция y = $\mathrm{f(x)}$. Найдите количество точек среди  x₀, x₁, в которых значение производной функции отрицательно.

Микроскоп использует линзу с фокусным расстоянием 15 см для получения четкого изображения образца. Расстояние $d_1$ от образца до линзы можно изменять в пределах от 1 см до 20 см, а расстояние $d_2$ от линзы до окуляра — от 80 см до 90 см. Изображение будет четким, если выполняется условие $\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}$. На каком минимальном расстоянии от линзы должен быть расположен образец, чтобы изображение было четким? Ответ дайте в сантиметрах.

На ферме два насоса работают с цистернами. Первый насос опустошает цистерну объёмом 1350 литров на 9 часов медленнее, чем второй, так как он пропускает на 135 литров топлива в час меньше. Какова скорость работы первого насоса?

На рисунке изображен график функции $f\left(x\right)=k\cdot x+b$. Вычислите значение функции $f\left(x\right)$ в точке $x=5$.

Найдите максимум функции $13\cdot \cos \left(x\right)-\frac{15}{\pi }\cdot x+5$ на интервале $[-6\cdot \pi ;6\cdot \pi ]$.

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение $2\cdot \sin \left(x\right)\cdot \cos \left(x\right)-2\cdot \cos \left(x\right)\cdot \cos (60°)=0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[4\cdot \pi ;\frac{17\cdot \pi }{3}]$

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём ${\mathrm{CC}}_1$ — образующая цилиндра, а $\mathrm{AC}$ — диаметр основания. Известно, что $\mathrm{\angle ACB}=\mathrm{30°}$, $\mathrm{AB}=9$ см, ${\mathrm{CC}}_1=9\cdot \sqrt{2}$ см.

а) Докажите, что угол между прямыми ${\mathrm{AC}}_1$ и $\mathrm{BC}$ равен $\mathrm{45°}$.

б) Найдите объём цилиндра.

Решите неравенство $$ \frac{7+7^x+1^{x+1}+7^{x+1}}{x^2+13\cdot x+42}$\ge 0$.

Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника $\mathrm{ABCD}$ перпендикулярно диагонали $\mathrm{AC}$, пересекает сторону $\mathrm{AD}$ в точке $M$, равноудалённой от вершин $B$ и $D$.
a) Докажите, что $\mathrm{\angle ABM}=\mathrm{\angle ACB}=30°$.
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой $\mathrm{CM}$, если $\mathrm{BC}=\mathrm{37}$.

Для каких значений параметра a уравнение $\sqrt{x^4-16\cdot x^2+9\cdot a^2}=x^2+4\cdot x-3\cdot a$ будет иметь ровно $3$ решения?

Есть три коробки. В одной из них 106 камней, в другой — 0, а в третьей — 103. Произвели несколько ходов, перекладывая по одному камню из двух любых коробок в третью.

а) Могло ли в первой коробке остаться 90 камней, во второй — 0, а в третьей — 119?

б) Может ли в третьей коробке оказаться 209 камень?

в) В первой коробке остался 1 камень. Какое максимальное количество камней могло оказаться в второй коробке?