Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 11 Января

Для треугольника $NZY$ с гипотенузой $\mathrm{ZY\; =\; 80}$ и катетом $\mathrm{NZ\; =\; 48}$, угол $N$ равен 90°. Найдите $\mathrm{sinY}$.

Векторы $\overrightarrow{a}(4;1)$ и $\overrightarrow{b}(15;30)$ заданы своими компонентами. Определите их скалярное произведение.

Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличится в 10 раз, а все остальные параметры сохранятся.

Мастерская производит 152 стула в месяц, и 38 стульев имеют дефекты в креплениях. Какова вероятность того, что случайно выбранный стул окажется без дефектов?

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется больше 32 пассажиров, равна 0.61. Вероятность того, что окажется больше 16 пассажиров, равна 0.41. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 17 до 32.

Определите значение x для уравнения: ${''(''\frac{11}{22}'')''}^{-2\cdot \mathrm{x\; +\; 6}}=64$.

Рассчитайте результат для выражения $\frac{-2\cdot \sin (158°)}{\cos (79°)\cdot \sin (79°)}$

На графике изображён график функции y = $\mathrm{q(x)}$. На оси абсцисс отмечены точки -3, -2, -1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Проектор в кинотеатре использует линзу с фокусным расстоянием 32 см для проецирования изображения на экран. Расстояние от проектора до линзы может изменяться от 10 см до 250 см, а расстояние от линзы до экрана — от 160 см до 192 см. Чтобы изображение было четким, необходимо, чтобы выполнялась формула $\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}$. При каком наименьшем расстоянии от линзы изображение на экране будет четким? Ответ дайте в сантиметрах.

Два насоса накачивают шину. Второй насос накачивает шину объёмом 204 литра на 2 минуты быстрее, чем первый, так как он пропускает на 51 литр воздуха в минуту больше. Какова скорость работы второго насоса?

На графике изображен график функции, которая имеет вид $f\left(x\right)=a\cdot x^2+b\cdot x$. Найдите значение функции $f\left(x\right)$ в точке $x=7$.

Найдите точку максимума функции $y=13\cdot x^3+15\cdot x^2-9\cdot x-3$

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение $\cos (\frac{\pi }{2}-2\cdot x)-2\cdot \cos \left(x\right)\cdot \sin (-60°)=0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-2\cdot \pi ;\frac{-2\cdot \pi }{3}]$

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём ${\mathrm{CC}}_1$ — образующая цилиндра, а $\mathrm{AC}$ — диаметр основания. Известно, что $\mathrm{\angle ACB}=\mathrm{30°}$, $\mathrm{AB}=10$ см, ${\mathrm{CC}}_1=20\cdot \sqrt{2}$ см.

а) Докажите, что угол между прямыми ${\mathrm{AC}}_1$ и $\mathrm{BC}$ равен $\mathrm{60°}$.

б) Найдите объём цилиндра.

Решите неравенство $$ \frac{21+{21}^x+7^{x+1}+3^{x+1}}{x^2+5\cdot x+4}$\ge 0$.

Банк предполагает выдать в кредит целое число миллионов рублей на 5 лет, при этом каждый год долг заемщика увеличивается на 70%. В 1, 2, 3 годах заемщик выплачивает только проценты. В остальные года заемщик выплачивает одинаковые суммы, которые полностью погашают долг. Найдите максимальный размер кредита, при котором общая сумма выплат не превысит 67 млн рублей.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно.

а) Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1{B}_1{C}_1$ подобны.

б) Рассчитайте длину $ABC$ и радиус окружности, если $\angle A=\mathrm{30°}$, $B_1{C}_1=10$, и площадь треугольника $A_1{B}_1{C}_1$ в 6 раз меньше площади четырёхугольника $CB{B}_1{C}_1$.

Найдите все значения a, при которых система неравенств:

$x+a<=30$ $2\cdot a<=x$ $6\cdot x<x^2+a^2$

имеет хотя бы одно решение на отрезке $[1;16]$.

Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S.

1) Может ли сумма быть равна 964?
2) Может ли сумма быть равна 1480?
3) Какое самое большое значение может принимать целое S для 4-значных исходных чисел?