Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 31 Марта

В окружности с центром $S$ проведены диаметры $\mathrm{BY}$ и $\mathrm{FO}$. Угол $\mathrm{BYF}$, который является вписанным, равен $\mathrm{59°}$. Найдите угол $\mathrm{BSO}$, который является центральным. Ответ дайте в градусах.

Векторы $\overrightarrow{a}(10;-22)$ и $\overrightarrow{b}(-13;-6)$ заданы своими компонентами. Определите их скалярное произведение.

Конус с радиусом основания, равным радиусу шара, имеет объем 11. Определите объем шара.

На банкете присутствует 250 гостей, которых рассадили по 6 столам. За первые 5 столов посадили по 35 человек, остальных разместили за последний стол. Найдите вероятность того, что случайно выбранный гость сидел за последним столом.

На выставке в музее ожидается поток посетителей. Вероятность того, что за день придет больше 23 посетителей, равна 0.68. Вероятность того, что придет больше 12 посетителей, равна 0.62. Найдите вероятность того, что количество посетителей будет от 13 до 23.

Решите уравнение: ${''(''\frac{9}{18}'')''}^{2\cdot \mathrm{x\; -\; 10}}=64$.

Каков результат выражения $43\cdot {\log }_{\frac{{98}^{\frac{43}{25}}}{}}\left(98\right)$?

На графике представлена функция y = $\mathrm{q(x)}$. Определите, в какой из точек -2, -1, 0, 2, 3 значение производной функции будет наименьшим.

Самокат в городе начал тормозить при скорости 12.5 м/с и ускорении 1.0 м/с². Через t секунд с момента начала торможения он проехал 78 метров. Найдите время торможения, используя формулу $S=V_0\cdot t-\frac{a\cdot t^2}{2}$.

В городе открыли автозаправку с несколькими колонками. Вторая колонка заправляет машину с баком объёмом 76 литров на 2 минуты быстрее, чем первая, так как она пропускает на 19 литров топлива в минуту больше. За сколько минут первая колонка заправит машину?

Функция имеет вид $f\left(x\right)=a^x+b$, а её график приведен на рисунке. Определите значение функции $f\left(2\right)$.

Найдите минимум функции $-2\cdot \sin \left(x\right)-\frac{10}{\pi }\cdot x+6$ на интервале $[\frac{\pi }{2}-2\cdot \pi ;2\cdot \pi ]$.

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение $-\sin \left(x\right)\cdot (2\cdot {\sin }^2(x)-1)-(4\cdot {\sin }^3(\frac{x}{3})-3\cdot \sin (\frac{x}{3}\left)\right)-2\cdot \left({\sin }^2\right(x)-1)\cdot \sin (-30°)=0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{41\cdot \pi }{6};\frac{53\cdot \pi }{6}]$

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём ${\mathrm{CC}}_1$ — образующая цилиндра, а $\mathrm{AC}$ — диаметр основания. Известно, что $\mathrm{\angle ACB}=\mathrm{30°}$, $\mathrm{AB}=12$ см, ${\mathrm{CC}}_1=24\cdot \sqrt{2}$ см.

а) Докажите, что угол между прямыми ${\mathrm{AC}}_1$ и $\mathrm{BC}$ равен $\mathrm{60°}$.

б) Найдите объём цилиндра.

Решите неравенство $$ \frac{{12}^x-3^{x+1}-4^{x+1}+12}{x^2-1\cdot x-20}$\le 0$.

Бизнесмен хочет взять в кредит целое число миллионов рублей на 10 лет с ежегодным увеличением долга на 20%. Заемщик предполагает, что в 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 годах он будет выплачивать только проценты. В остальные года заемщик выплачивает одинаковые суммы, которые полностью погашают долг. Найдите наибольший возможный кредит, при котором выплаченная сумма не превышает 22 млн рублей.

Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника $\mathrm{ABCD}$ перпендикулярно диагонали $\mathrm{AC}$, пересекает сторону $\mathrm{AD}$ в точке $M$, равноудалённой от вершин $B$ и $D$.
a) Докажите, что $\mathrm{\angle MBD}=\mathrm{\angle DBC}=30°$.
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой $\mathrm{CM}$, если $\mathrm{BC}=7$.

Для каких значений параметра a уравнение $\sqrt{x^4-16\cdot x^2+9\cdot a^2}=x^2+4\cdot x-3\cdot a$ будет иметь ровно $3$ решения?

Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S.

1) Может ли сумма быть равна 498?
2) Может ли сумма быть равна 425?
3) Какое самое маленькое значение может принимать дробное S для 4-значных исходных чисел?