Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 12 Февраля

Для треугольника $SDR$ с гипотенузой $\mathrm{DR\; =\; 25}$ и катетом $\mathrm{SD\; =\; 24}$, угол $S$ равен 90°. Найдите $\mathrm{sinR}$.

Векторы $\overrightarrow{a}(23;-1)$ и $\overrightarrow{b}(1;17)$ заданы своими компонентами. Определите их скалярное произведение.

Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличится в 5 раз, а остальные характеристики останутся прежними.

На фабрике ежедневно шьют 80 сумок, и 16 сумок оказываются с браком на молнии. Какова вероятность того, что выбранная сумка будет без дефекта?

На футбольный матч между местными командами ожидается определенное количество болельщиков. Вероятность того, что на стадионе будет больше 41 болельщикa, равна 0.93. Вероятность того, что будет больше 20 болельщиков, равна 0.92. Найдите вероятность того, что количество болельщиков будет от 21 до 41.

Определите значение x для уравнения: $\sqrt{7\cdot x+8}=15$.

Вычислите значение для $\frac{{\left(2\sqrt{9}\right)}^2}{9}$

На рисунке изображён график производной функции $\mathrm{q(x)}$, y = $\mathrm{q\text{'}(x)}$, определённой на интервале (-7; 8). В какой точке отрезка [-6; 7] значение функции $\mathrm{q(x)}$ минимально?

Фары автомобиля используют линзу с фокусным расстоянием 24 см для проецирования светового пятна на дорогу в условиях тумана. Расстояние от лампы до линзы можно изменять в пределах от 10 см до 70 см, а расстояние от линзы до дорожного покрытия — от 150 см до 168 см. Чтобы световое пятно на дороге было четким, необходимо выполнение формулы $\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}$. При каком минимальном расстоянии от линзы световое пятно будет четким? Ответ дайте в сантиметрах.

На ферме два насоса работают с цистернами. Первый насос опустошает цистерну объёмом 855 литров на 10 часов медленнее, чем второй, так как он пропускает на 50 литров топлива в час меньше. Какова скорость работы второго насоса?

График функции $f\left(x\right)={\log }_a\left(x\right)+b$ изображен на рисунке. Найдите значение функции $f\left(x\right)$ в точке $x=16$.

Найдите максимум функции $2\cdot \sqrt{3}\cdot \sin \left(x\right)-\frac{15}{\pi }\cdot x+11$ на интервале $[\frac{\pi }{3}-6\cdot \pi ;\pi +8\cdot \pi ]$.

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение ${1296}^{\cos \left(x\right)}-42\cdot {36}^{\cos \left(x\right)}+216=0$
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[8\cdot \pi ;\frac{19\cdot \pi }{2}]$

Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $B{D}_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.

а) Докажите, что грань $ABCD$ — квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $ABCD$, если $B{B}_1$ = 10, $DA$ = 18.

Решите неравенство $$ \frac{6^x-42-7^{x+1}+{42}^x}{x^2+12\cdot x+27}$\ge 0$.

Заемщик берет в кредит целое число миллионов рублей на 7 лет. Каждый год долг возрастает на 50%. В 1, 2, 3, 4, 5 годах выплачиваются только проценты. В остальные года заемщик выплачивает одинаковые суммы, которые полностью погашают долг. Определите наименьшую сумму кредита, чтобы общая выплата была больше 53 млн рублей.

Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника $\mathrm{ABCD}$ перпендикулярно диагонали $\mathrm{AC}$, пересекает сторону $\mathrm{AD}$ в точке $M$, равноудалённой от вершин $B$ и $D$.
a) Докажите, что $\mathrm{\angle ABM}=\mathrm{\angle ACB}=30°$.
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой $\mathrm{CM}$, если $\mathrm{BC}=\mathrm{38}$.

Для каких значений параметра a уравнение $\sqrt{x^4-4\cdot x^2+4\cdot a^2}=x^2+2\cdot x-2\cdot a$ будет иметь ровно $3$ решения?

Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S.

1) Может ли сумма быть равна 764?
2) Может ли сумма быть равна 164?
3) Какое самое большое значение может принимать дробное S для 3-значных исходных чисел?