Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 08 Апреля

Центральный угол на $\mathrm{51°}$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

Найдите длину вектора $\overrightarrow{\mathrm{KH}}-\overrightarrow{\mathrm{KI}}'',\; если\; диагонали\; ромба\; HIJK\; равны\; 56\; и\; 90''$.

Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота уменьшится в 7 раз, а остальные характеристики останутся прежними.

На турнире по гимнастике участвуют 56 спортсменов, из которых 1 из Канады, 6 из Японии, а остальные — из Италии. Порядок выступления спортсменов определяется случайным образом. Найдите вероятность, что спортсмен, выступающий первым окажется из Италии.

Производится контроль рабочего времени. Вероятность того, что количество рабочих часов окажется больше 1993, равна 0.89. Вероятность того, что количество рабочих часов окажется больше 2021, равна 0.76. Найдите вероятность того, что время работы больше 1993 ч. но меньше 2021 ч., если в данной задаче время считается непрерывной величиной.

Решите уравнение ${(2-x)}^2=49$. Если корней несколько, в ответе укажите наименьший корень.

Определите значение выражения $-19\cdot \frac{\cos (14°)\cdot \sin (14°)}{\sin (28°)}$

На графике изображён график функции y = $\mathrm{m(x)}$. На оси абсцисс отмечены точки  x₀, x₁, x₂, x₃. Укажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции $\mathrm{m(x)}$ отрицательна.

Две тележки, каждая массой 60.4 кг, столкнулись со скоростью 7 м/с под углом 2α и выработали энергию 2219.7 Дж, которая рассчитывается по формуле $Q=m\cdot V^2\cdot {\sin \left(a\right)}^2$. Найдите угол 2α в градусах.

В городе открыли автозаправку с несколькими колонками. Вторая колонка заправляет машину с баком объёмом 76 литров на 2 минуты быстрее, чем первая, так как она пропускает на 19 литров топлива в минуту больше. За сколько минут первая колонка заправит машину?

Функция имеет вид $f\left(x\right)=a^x+b$, а её график приведен на рисунке. Определите значение функции $f\left(2\right)$.

Найдите минимум функции $7\cdot \cos \left(x\right)-\frac{8}{\pi }\cdot x+2$ на интервале $[\pi -10\cdot \pi ;6\cdot \pi ]$.

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение $-\cos (\frac{\pi }{2}+2\cdot x)-(1-2\cdot {\cos }^2(\frac{x}{2}\left)\right)=0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{13\cdot \pi }{6};\frac{7\cdot \pi }{2}]$

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём ${\mathrm{CC}}_1$ — образующая цилиндра, а $\mathrm{AC}$ — диаметр основания. Известно, что $\mathrm{\angle ACB}=\mathrm{45°}$, $\mathrm{AB}=7$ см, ${\mathrm{CC}}_1=7\cdot \sqrt{2}$ см.

а) Докажите, что угол между прямыми ${\mathrm{AC}}_1$ и $\mathrm{BC}$ равен $\mathrm{60°}$.

б) Найдите объём цилиндра.

Решите неравенство $$ \frac{2^x-6-3^{x+1}+6^x}{x^2+2\cdot x-3}$\le 0$.

Банк предполагает выдать в кредит целое число миллионов рублей на 10 лет, при этом каждый год долг заемщика увеличивается на 80%. В 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 годах заемщик выплачивает только проценты. В остальные года заемщик выплачивает одинаковые суммы, которые полностью погашают долг. Найдите минимальный размер кредита, при котором общая сумма выплат не меньше 99 млн рублей.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $A_1{B}_1{C}_1$.

б) Найдите длину $ABC$ и радиус окружности, если $\angle A=\mathrm{90°}$, $B_1{C}_1=6$, а площадь $A_1{B}_1{C}_1$ в 4 раз меньше площади $CB{B}_1{C}_1$.

Найдите все значения a, при которых система неравенств:

$x+a<=17$ $8\cdot x<x^2+a^2$ $7\cdot a>=x$

имеет хотя бы одно решение на отрезке $[7;13]$.

Есть три коробки. В одной из них 104 камней, в другой — 72, а в третьей — 0. Произвели несколько ходов, перекладывая по одному камню из двух любых коробок в третью.

а) Могло ли в первой коробке остаться 123 камней, во второй — 53, а в третьей — 0?

б) Может ли в третьей коробке оказаться 176 камень?

в) В первой коробке остался 1 камень. Какое максимальное количество камней могло оказаться в третьей коробке?