Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 29 Октября

В прямоугольном треугольнике $RTF$, где угол $R$ равен 90°, $\mathrm{TF\; =\; 85}$, а $\mathrm{RF\; =\; 68}$. Найдите $\mathrm{cosT}$.

Найдите длину вектора $\overrightarrow{a}(75;-100)$.

Объем конуса, вписанного в шар, составляет 7. Радиусы основания конуса и шара совпадают. Найдите объем шара.

В чемпионате по гимнастике участвуют 160 спортсменов: 45 из Швеции, 35 из Новой Зеландии, остальные — из Египта. Порядок, в котором выступают спортсмены, выбирается случайным образом при помощи жребия. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из Египта.

На пляже в выходной день прогнозируется определенное количество отдыхающих. Вероятность того, что будет больше 21 человекa, равна 0.67. Вероятность того, что будет больше 13 человек, равна 0.65. Найдите вероятность того, что количество отдыхающих будет от 14 до 21.

Найдите корень уравнения ${(1-x)}^2=25$. Если корней несколько, в ответе укажите наибольший корень.

Рассчитайте результат для выражения $\frac{2^{9.5}\cdot 6^{-4.5}}{3^{-7.5}}$

На графике показан график y = $\mathrm{p\text{'}(x)}$ — производной функции $\mathrm{p(x)}$ на интервале (-6; 4). Найдите точку на отрезке [-5; 3], где функция $\mathrm{p(x)}$ достигает наименьшего значения.

Сопротивление электромобиля, подключенного к зарядному устройству с напряжением 510 В, должно быть достаточно высоким. Если сила тока больше 27.2 А, вычисленная по формуле $I=\frac{U}{R}$, зарядное устройство не будет работать. Какое минимальное сопротивление, при котором зарядное устройство продолжит работать? Ответ дайте в омах.

Две помпы спускают шину. Вторая помпа спускает шину объёмом 183 литра на 58 минут быстрее, чем первая, так как она пропускает на 58 литров воздуха в минуту больше. За сколько минут вторая помпа спустит шину?

На рисунке изображен график функции $f\left(x\right)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$. Найдите значение функции $f\left(x\right)$ в точке $x=3$.

Найдите максимум функции $6\cdot \sqrt{3}\cdot \cos \left(x\right)+\frac{12}{\pi }\cdot x-6$ на интервале $[\frac{5\cdot \pi }{6}-10\cdot \pi ;\frac{5\cdot \pi }{6}+10\cdot \pi ]$.

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение $\sin (2\cdot x)+2\cdot \cos (x+\pi )\cdot \cos (135°)=0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{-5\cdot \pi }{4};\frac{-\pi }{4}]$

Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $B{D}_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.

а) Докажите, что грань $ABCD$ — квадрат.

б) Найдите площадь $BMDN$, если $A{A}_1$ = 12, $DA$ = 11.

Решите неравенство $$ \frac{4^x-24-6^{x+1}+{24}^x}{x^2+12\cdot x+32}$\le 0$.

Банк предполагает выдать в кредит целое число миллионов рублей на 6 лет, при этом каждый год долг заемщика увеличивается на 10%. В 1, 2, 3, 4 годах заемщик выплачивает только проценты. В остальные года заемщик выплачивает одинаковые суммы, которые полностью погашают долг. Найдите максимальный размер кредита, при котором общая сумма выплат не превысит 50 млн рублей.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $A_1{B}_1{C}_1$.

б) Рассчитайте длину $ABC$ и радиус окружности, если $\angle A=\mathrm{45°}$, $B_1{C}_1=9$, и площадь треугольника $A_1{B}_1{C}_1$ в 5 раз меньше площади четырёхугольника $CB{B}_1{C}_1$.

Найдите все значения a, при которых система неравенств:

$15\cdot x>x^2+a^2$ $5\cdot a<=x$ $x+a<=20$

имеет хотя бы одно решение на отрезке $[8;18]$.

Есть три коробки. В одной из них 84 камней, в другой — 103, а в третьей — 0. Произвели несколько ходов, перекладывая по одному камню из двух любых коробок в третью.

а) Могло ли в первой коробке остаться 84 камней, во второй — 79, а в третьей — 24?

б) Может ли в третьей коробке оказаться 187 камень?

в) В первой коробке остался 1 камень. Какое максимальное количество камней могло оказаться в третьей коробке?