Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 31 Августа

Для треугольника $NZY$ с гипотенузой $\mathrm{ZY\; =\; 80}$ и катетом $\mathrm{NZ\; =\; 48}$, угол $N$ равен 90°. Найдите $\mathrm{sinY}$.

Определите скалярное произведение векторов $\overrightarrow{a}(-7;-4)$ и $\overrightarrow{b}(-6;-4)$.

Вычислите объём многогранника, образованного вершинами $P_1$, $Q_1$, $R_1$, $Q$ правильной треугольной призмы $P$$Q$$R$$P_1$$Q_1$$R_1$, с площадью основания $10$ и высотой $3$.

Монету подбросили 3 раза. Какова вероятность, что решка выпадет ровно 3 раза?

На футбольный матч между местными командами ожидается определенное количество болельщиков. Вероятность того, что на стадионе будет больше 25 болельщиков, равна 0.71. Вероятность того, что будет больше 14 болельщиков, равна 0.43. Найдите вероятность того, что количество болельщиков будет от 15 до 25.

Определите значение x для уравнения ${\log }_7(x-2)={\log }_7\left(9\right)$

Определите значение выражения $\frac{{\left(3\sqrt{3}\right)}^2}{9}$

На рисунке показан график y = $\mathrm{q\text{'}(x)}$, представляющий производную функции $\mathrm{q(x)}$ на интервале (-4; 6). В какой точке отрезка [-3; 5] функция $\mathrm{q(x)}$ достигает наибольшего значения?

Два одинаковых карта массой по 230.5 кг каждый столкнулись на скорости 19.6 м/с под углом 2α и выработали энергию 66411.66 Дж. Формула для расчета энергии: $Q=m\cdot V^2\cdot {\sin \left(a\right)}^2$. Определите угол 2α в градусах.

Вертолет пролетел против ветра 17765 км, а затем вернулся обратно, затратив на обратный путь на 11 часов меньше. Определите скорость вертолета, если скорость ветра равна 10 км/ч.

График функции $f\left(x\right)={\log }_a\left(x\right)+b$ изображен на рисунке. Вычислите значение функции $f\left(x\right)$ в точке $x=16$.

Найдите максимум функции $13\cdot \cos \left(x\right)-\frac{15}{\pi }\cdot x+5$ на интервале $[-6\cdot \pi ;6\cdot \pi ]$.

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение $\left({\sin }^2\right(x)-1)+2\cdot \cos \left(\frac{x}{2}\right)\cdot \sin \left(\frac{x}{2}\right)\cdot (1-2\cdot {\sin }^2(x\left)\right)+(3\cdot \sin (\frac{x}{3})-4\cdot {\sin }^3(\frac{x}{3}\left)\right)=0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{-20\cdot \pi }{3};\frac{-29\cdot \pi }{6}]$

Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $B{D}_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.

а) Докажите, что грань $ABCD$ — квадрат.

б) Найдите площадь $ABCD$, если $D{D}_1$ = 10, $CD$ = 5.

Решите неравенство $$ \frac{21+{21}^x+7^{x+1}+3^{x+1}}{x^2+5\cdot x+4}$\ge 0$.

Заемщик берет в кредит целое число миллионов рублей на 8 лет. Каждый год долг возрастает на 30%. В 1, 2, 3, 4, 5, 6 годах выплачиваются только проценты. В остальные года заемщик выплачивает одинаковые суммы, которые полностью погашают долг. Определите наибольшую сумму кредита, чтобы общая выплата была меньше 41 млн рублей.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно.

а) Покажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $A_1{B}_1{C}_1$.

б) Вычислите длину стороны $ABC$ и радиус данной окружности, если $\angle A=\mathrm{90°}$, $B_1{C}_1=7$ и площадь треугольника $A_1{B}_1{C}_1$ в 4 раз меньше площади четырёхугольника $CB{B}_1{C}_1$.

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение $\sqrt{x^4-9\cdot x^2+100\cdot a^2}=x^2+3\cdot x-10\cdot a$ имеет ровно $3$ решения.

Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S.

1) Может ли сумма быть равна 48?
2) Может ли сумма быть равна 27?
3) Какое самое маленькое значение может принимать дробное S для 2-значных исходных чисел?