Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 27 Октября

Центральный угол на $\mathrm{38°}$ больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Определите величину вписанного угла. Ответ дайте в градусах.

Найдите длину вектора $\overrightarrow{a}(-3;-4)$.

Шар объемом $21$ вписан в цилиндр. Найдите объем этого цилиндра.

Монету бросили 3 раза. Какова вероятность выпадения орла ровно 1 раз?

По результатам трехкратного броска игральной кости в сумме выпало 14 очков. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало 5 очков?

Решите уравнение: $\sqrt{15\cdot x+31}=16$.

Определите значение выражения $3\cdot \frac{\cos (61°)\cdot \sin (61°)}{\sin (122°)}$

На графике показан график y = $\mathrm{p\text{'}(x)}$ — производной функции $\mathrm{p(x)}$ на интервале (-6; 4). Найдите точку на отрезке [-5; 3], где функция $\mathrm{p(x)}$ достигает наименьшего значения.

Фары автомобиля используют линзу с фокусным расстоянием 24 см для проецирования светового пятна на дорогу в условиях тумана. Расстояние от лампы до линзы можно изменять в пределах от 10 см до 70 см, а расстояние от линзы до дорожного покрытия — от 150 см до 168 см. Чтобы световое пятно на дороге было четким, необходимо выполнение формулы $\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}$. При каком минимальном расстоянии от линзы световое пятно будет четким? Ответ дайте в сантиметрах.

Человек спускался по эскалатору на расстояние 15 м, а затем поднялся обратно, затратив на обратный путь на 5 секунд больше. Определите скорость эскалатора, если скорость человека равна 4 м/с.

Функция имеет вид $f\left(x\right)={\log }_a\left(x\right)+b$, а её график приведен на рисунке. Найдите результат функции $f\left(x\right)$ при $x=16$.

Найдите минимум функции $-3\cdot \sqrt{2}\cdot \cos \left(x\right)-\frac{12}{\pi }\cdot x+1$ на интервале $[\frac{\pi }{4}-4\cdot \pi ;\frac{\pi }{2}+2\cdot \pi ]$.

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение $\sin (2\cdot x)+2\cdot \sin (-30°)\cdot \cos (x+\pi )=0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{7\cdot \pi }{3};\frac{10\cdot \pi }{3}]$

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём ${\mathrm{CC}}_1$ — образующая цилиндра, а $\mathrm{AC}$ — диаметр основания. Известно, что $\mathrm{\angle ACB}=\mathrm{45°}$, $\mathrm{AB}=7$ см, ${\mathrm{CC}}_1=7\cdot \sqrt{2}$ см.

а) Докажите, что угол между прямыми ${\mathrm{AC}}_1$ и $\mathrm{BC}$ равен $\mathrm{60°}$.

б) Найдите объём цилиндра.

Решите неравенство $$ \frac{{25}^{x+1}-{425}^x-{17}^x+425}{x^2+25\cdot x}$\ge 0$.

Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника $\mathrm{ABCD}$ перпендикулярно диагонали $\mathrm{AC}$, пересекает сторону $\mathrm{AD}$ в точке $M$, равноудалённой от вершин $B$ и $D$.
a) Докажите, что $\mathrm{\angle ABM}=\mathrm{\angle CAD}=30°$.
б) Найдите $\mathrm{MD}$, если $\mathrm{BC}=\mathrm{33}$.

Найдите все значения a, при которых система неравенств:

$x+a>=10$ $6\cdot x<x^2+a^2$ $6\cdot a>=x$

имеет хотя бы одно решение на отрезке $[1;4]$.

Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S.

1) Может ли сумма быть равна 80?
2) Может ли сумма быть равна 375?
3) Какое самое маленькое значение может принимать целое S для 4-значных исходных чисел?