Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 05 Февраля

Для треугольника $SDR$ с гипотенузой $\mathrm{DR\; =\; 25}$ и катетом $\mathrm{SD\; =\; 24}$, угол $S$ равен 90°. Найдите $\mathrm{sinR}$.

Векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ заданы координатами. Найдите длину вектора $-2\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$.

Цилиндр с основанием и высотой, равной радиусу, имеет боковую площадь равную $16\cdot \sqrt{72}$. Найдите площадь боковой поверхности вписанного конуса.

На турнире по регби участвуют 34 спортсменок, из которых 4 из России, 13 из Мексики, а остальные — из Китая. Порядок выступления спортсменок определяется случайным образом. Найдите вероятность, что спортсменка, выступающая первой окажется из Китая.

На руднике добывается драгоценный камень. Вероятность того, что масса камня окажется больше 4 кг, равна 0.94. Вероятность того, что масса окажется больше 6 кг, равна 0.76. Найдите вероятность того, что масса камня больше 4 кг но меньше 6 кг.

Решите уравнение: ${''(''\frac{1}{6}'')''}^{-3\cdot \mathrm{x\; +\; 4}}=36$.

Какое значение принимает выражение $\frac{{24}^{-5.6}\cdot {12}^{8.6}}{2^{-4.6}}$?

На графике показана функция y = $\mathrm{k(x)}$. Найдите количество точек среди  x₀, x₁, в которых значение производной функции положительно.

Для получения четкого изображения на экране в кинотеатре используется собирающая линза с фокусным расстоянием 28 см. Расстояние $d_1$ от проектора до линзы может изменяться в пределах от 10 см до 160 см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана — в пределах от 180 см до 188 см. Чтобы получить четкое изображение, необходимо, чтобы выполнялось условие $\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}$. На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно разместить проектор, чтобы изображение на экране было четким? Ответ дайте в сантиметрах.

На нефтяной платформе две скважины качают нефть. Первая скважина опустошает резервуар объёмом 1260 литров на 6 часов медленнее, чем вторая, пропуская на 27 литров нефти в час меньше. Какова скорость работы первой скважины?

На графике изображен график функции, которая имеет вид $f\left(x\right)=k\cdot x+b$. Вычислите значение функции $f\left(x\right)$ в точке $x=2$.

Найдите минимум функции $-5\cdot \sin \left(x\right)-\frac{6}{\pi }\cdot x+5$ на интервале $[\frac{\pi }{2}-10\cdot \pi ;\pi +2\cdot \pi ]$.

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение $(1-{\sin }^2(x\left)\right)+2\cdot \sin \left(\frac{x}{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{x}{2}\right)-(1-2\cdot {\cos }^2(x\left)\right)\cdot (3\cdot \sin (\frac{x}{3})-4\cdot {\sin }^3(\frac{x}{3}\left)\right)=0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{19\cdot \pi }{3};\frac{49\cdot \pi }{6}]$

Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $B{D}_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.

а) Докажите, что грань $ABCD$ — квадрат.

б) Найдите площадь $BMDN$, если $B{B}_1$ = 20, $DA$ = 13.

Решите неравенство $$ \frac{4^x+2^{x+1}+2^{x+1}+4}{x^2-2\cdot x-48}$\le 0$.

Банк предполагает выдать в кредит целое число миллионов рублей на 6 лет, при этом каждый год долг заемщика увеличивается на 90%. В 1, 2, 3, 4 годах заемщик выплачивает только проценты. В остальные года заемщик выплачивает одинаковые суммы, которые полностью погашают долг. Найдите максимальный размер кредита, при котором общая сумма выплат не превысит 42 млн рублей.

Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника $\mathrm{ABCD}$ перпендикулярно диагонали $\mathrm{AC}$, пересекает сторону $\mathrm{AD}$ в точке $M$, равноудалённой от вершин $B$ и $D$.
a) Докажите, что $\mathrm{\angle ABM}=\mathrm{\angle CAD}=30°$.
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой $\mathrm{CM}$, если $\mathrm{BC}=\mathrm{12}$.

Найдите все значения a, при которых система неравенств:

$2\cdot a<=x$ $9\cdot x>x^2+a^2$ $x+a<=17$

имеет хотя бы одно решение на отрезке $[2;14]$.

Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S.

1) Может ли сумма быть равна 42?
2) Может ли сумма быть равна 1325?
3) Какое самое маленькое значение может принимать целое S для 4-значных исходных чисел?