Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 26 Февраля

В прямоугольном треугольнике $UYQ$, где угол $U$ равен 90°, $\mathrm{YQ\; =\; 90}$, а $\mathrm{UY\; =\; 72}$. Найдите $\mathrm{sinQ}$.

На координатной плоскости изображены векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ , координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора $2\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b}.$

Через среднюю линию основания треугольной призмы объёмом $56$ проведена плоскость, параллельная одному из боковых рёбер. Какой объём у отсечённой треугольной призмы?

Монету бросили 4 раза. Какова вероятность выпадения орла ровно 2 раза?

По результатам трехкратного броска игральной кости в сумме выпало 7 очков. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало 3 очка?

Найдите корень уравнения: $7^{-4\cdot \mathrm{x\; +\; 2}}=49$.

Решите для значения выражения $\frac{14\cdot \sin (82°)}{\sin (41°)\cdot \sin (49°)}$

На графике представлена функция y = $\mathrm{m(x)}$. Определите, в какой из точек -4, -3, -1, 0, 2, 3, 4 значение производной функции будет наибольшим.

Фары автомобиля используют линзу с фокусным расстоянием 24 см для проецирования светового пятна на дорогу в условиях тумана. Расстояние от лампы до линзы можно изменять в пределах от 10 см до 70 см, а расстояние от линзы до дорожного покрытия — от 150 см до 168 см. Чтобы световое пятно на дороге было четким, необходимо выполнение формулы $\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}$. При каком минимальном расстоянии от линзы световое пятно будет четким? Ответ дайте в сантиметрах.

Две трубы наполняют бассейн водой. Первая труба наполняет бассейн объёмом 660 литров на 5 часов медленнее, чем вторая, пропуская на 11 литров воды в час меньше. За сколько часов вторая труба наберёт воду в бассейн?

На графике изображен график функции, которая имеет вид $f\left(x\right)=a\cdot x^2$. Найдите результат функции $f\left(x\right)$ при $x=4$.

Найдите максимум функции $-4\cdot \cos \left(x\right)-\frac{12}{\pi }\cdot x-6$ на интервале $[-8\cdot \pi ;\frac{\pi }{3}+10\cdot \pi ]$.

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение ${4096}^{\sin \left(x\right)}-72\cdot {64}^{\sin \left(x\right)}+512=0$
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-4\cdot \pi ;-2\cdot \pi ]$

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём ${\mathrm{CC}}_1$ — образующая цилиндра, а $\mathrm{AC}$ — диаметр основания. Известно, что $\mathrm{\angle ACB}=\mathrm{45°}$, $\mathrm{AB}=11$ см, ${\mathrm{CC}}_1=11\cdot \sqrt{2}$ см.

а) Докажите, что угол между прямыми ${\mathrm{AC}}_1$ и $\mathrm{BC}$ равен $\mathrm{60°}$.

б) Найдите объём цилиндра.

Решите неравенство $$ \frac{5^x-5-1^{x+1}}{x^2-6\cdot x-40}$\ge 0$.

Заемщик берет в кредит целое число миллионов рублей на 5 лет. Каждый год долг возрастает на 90%. В 1, 2, 3 годах выплачиваются только проценты. В остальные года заемщик выплачивает одинаковые суммы, которые полностью погашают долг. Определите наибольшую сумму кредита, чтобы общая выплата была меньше 83 млн рублей.

Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника $\mathrm{ABCD}$ перпендикулярно диагонали $\mathrm{AC}$, пересекает сторону $\mathrm{AD}$ в точке $M$, равноудалённой от вершин $B$ и $D$.
a) Докажите, что $\mathrm{\angle ADB}=\mathrm{\angle MBD}=30°$.
б) Найдите $\mathrm{MD}$, если $\mathrm{BC}=\mathrm{18}$.

Определите значения параметра a, при которых уравнение $\sqrt{x^4-25\cdot x^2+81\cdot a^2}=x^2+5\cdot x-9\cdot a$ обладает ровно $3$ решениями.

Есть три коробки. В одной из них 150 камней, в другой — 0, а в третьей — 101. Произвели несколько ходов, перекладывая по одному камню из двух любых коробок в третью.

а) Могло ли в первой коробке остаться 164 камней, во второй — 0, а в третьей — 87?

б) Может ли в третьей коробке оказаться 251 камень?

в) В первой коробке остался 1 камень. Какое максимальное количество камней могло оказаться в второй коробке?