Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 23 Марта

В прямоугольном треугольнике $ECQ$, где угол $E$ равен 90°, $\mathrm{CQ\; =\; 50}$, а $\mathrm{EQ\; =\; 48}$. Найдите $\mathrm{cosC}$.

Найдите длину вектора $\overrightarrow{\mathrm{ST}}-\overrightarrow{\mathrm{SQ}}'',\; если\; диагонали\; ромба\; QRST\; равны\; 72\; и\; 30''$.

В параллелепипеде $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ известно, что длина $A_1{B}_1$ равна $12$, $AD$ равна $1$, а $A{A}_1$ равна $8$. Найдите объем многогранника, образованного вершинами $A$, $B$, $C$, $D$ и $A_1$.

В соревнованиях по волейболу участвуют 82 спортсменов, включая 19 из России, 22 из Белиза, и остальные спортсмены из Южной Кореи. Порядок выступления спортсменов определяется случайным образом. Определите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым будет из Южной Кореи.

Шеф-повар утверждает, что вероятность того, что температура в духовке станет выше чем 206.2℃ при выпекании, составляет 0.76. Какова вероятность того, что температура останется ниже 206.2℃?

Решите уравнение: $\sqrt{1\cdot x-1}=9$.

Какое значение принимает выражение $\frac{{24}^{-5.6}\cdot {12}^{8.6}}{2^{-4.6}}$?

На рисунке изображён график производной функции $\mathrm{q(x)}$, y = $\mathrm{q\text{'}(x)}$, определённой на интервале (-8; 3). В какой точке отрезка [-7; 2] значение функции $\mathrm{q(x)}$ минимально?

Для наблюдения за образцом под микроскопом используется линза с фокусным расстоянием 15 см. Расстояние $d_1$ от образца до линзы можно менять в диапазоне от 8 см до 20 см, а расстояние $d_2$ от линзы до окуляра — от 80 см до 90 см. Изображение образца будет четким, если выполняется условие $\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}$. На каком наименьшем расстоянии от линзы образец будет давать четкое изображение? Ответ дайте в сантиметрах.

Две помпы спускают шину. Вторая помпа спускает шину объёмом 276 литров на 1 минуту быстрее, чем первая, так как она пропускает на 23 литра воздуха в минуту больше. За сколько минут первая помпа спустит шину?

Дана функция, которая может быть представлена в виде $f\left(x\right)=a^x+b$. Определите значение функции $f\left(2\right)$.

Найдите максимум функции $4\cdot \sqrt{3}\cdot \sin \left(x\right)-\frac{12}{\pi }\cdot x-3$ на интервале $[\frac{\pi }{3}-8\cdot \pi ;\frac{\pi }{3}+6\cdot \pi ]$.

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение $\cos (\frac{\pi }{2}-2\cdot x)-2\cdot \cos \left(x\right)\cdot \sin (30°)=0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{-22\cdot \pi }{3};\frac{-35\cdot \pi }{6}]$

Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $B{D}_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.

а) Докажите, что грань $ABCD$ — квадрат.

б) Найдите площадь $BMDN$, если $B{B}_1$ = 5, $BC$ = 8.

Решите неравенство $$ \frac{{12}^x-3^{x+1}-4^{x+1}+12}{x^2-1\cdot x-20}$\le 0$.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно.

а) Покажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $A_1{B}_1{C}_1$.

б) Найдите длину $ABC$ и радиус окружности, если $\angle A=\mathrm{45°}$, $B_1{C}_1=10$, а площадь $A_1{B}_1{C}_1$ в 7 раз меньше площади $CB{B}_1{C}_1$.

Определите значения параметра a, при которых уравнение $\sqrt{x^4-4\cdot x^2+9\cdot a^2}=x^2+2\cdot x-3\cdot a$ обладает ровно $3$ решениями.

Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S.

1) Может ли сумма быть равна 874?
2) Может ли сумма быть равна 689?
3) Какое самое маленькое значение может принимать дробное S для 2-значных исходных чисел?