Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 21 Февраля

В прямоугольном треугольнике $RTF$, где угол $R$ равен 90°, $\mathrm{TF\; =\; 85}$, а $\mathrm{RF\; =\; 68}$. Найдите $\mathrm{cosT}$.

Векторы $\overrightarrow{a}(2;0)$ и $\overrightarrow{b}(3;23)$ заданы своими компонентами. Определите их скалярное произведение.

Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота уменьшится в 7 раз, а остальные характеристики останутся прежними.

Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся решит больше 8 задач, равна 0.72. Вероятность того, что он решит больше 7 задач, равна 0.92. Найдите вероятность того, что он решит ровно 8 задач.

В лаборатории измеряют температуру жидкости. Вероятность того, что температура жидкости будет больше 34°C, равна 0.94. Вероятность того, что температура окажется меньше 38°C, равна 0.64. Найдите вероятность того, что температура жидкости больше 34 °C но меньше 38 °C.

Определите значение x для уравнения: $\sqrt{24-3\cdot x}=3$.

Решите для значения выражения $\frac{{18}^{7.3}\cdot 6^{-5.3}}{3^{6.3}}$

На графике показана функция y = $\mathrm{g(x)}$. Найдите количество точек среди  x₀, x₁, x₂, x₃, в которых значение производной функции отрицательно.

Проектор в кинотеатре использует линзу с фокусным расстоянием 27 см для проецирования изображения на экран. Расстояние от проектора до линзы может изменяться от 10 см до 100 см, а расстояние от линзы до экрана — от 170 см до 189 см. Чтобы изображение было четким, необходимо, чтобы выполнялась формула $\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}$. При каком наименьшем расстоянии от линзы изображение на экране будет четким? Ответ дайте в сантиметрах.

На ферме два насоса работают с цистернами. Второй насос наполняет цистерну объёмом 1200 литров на 18 часов быстрее, чем первый, так как он пропускает на 15 литров топлива в час больше. Какова скорость работы второго насоса?

График функции $f\left(x\right)={\log }_a\left(x\right)+b$ изображен на рисунке. Вычислите значение функции $f\left(x\right)$ в точке $x=16$.

Найдите максимум функции $6\cdot \sin \left(x\right)+\frac{11}{\pi }\cdot x-6$ на интервале $[-10\cdot \pi ;6\cdot \pi ]$.

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение ${4096}^{\sin \left(x\right)}-72\cdot {64}^{\sin \left(x\right)}+512=0$
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-4\cdot \pi ;-2\cdot \pi ]$

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём ${\mathrm{CC}}_1$ — образующая цилиндра, а $\mathrm{AC}$ — диаметр основания. Известно, что $\mathrm{\angle ACB}=\mathrm{45°}$, $\mathrm{AB}=5$ см, ${\mathrm{CC}}_1=5\cdot \sqrt{2}$ см.

а) Докажите, что угол между прямыми ${\mathrm{AC}}_1$ и $\mathrm{BC}$ равен $\mathrm{60°}$.

б) Найдите объём цилиндра.

Решите неравенство $$ \frac{19-1^{x+1}-{19}^{x+1}+{19}^x}{x^2-11\cdot x}$\le 0$.

Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника $\mathrm{ABCD}$ перпендикулярно диагонали $\mathrm{AC}$, пересекает сторону $\mathrm{AD}$ в точке $M$, равноудалённой от вершин $B$ и $D$.
a) Докажите, что $\mathrm{\angle ABD}=\mathrm{\angle DBC}=30°$.
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой $\mathrm{CM}$, если $\mathrm{BC}=\mathrm{50}$.

Для каких значений параметра a уравнение $\sqrt{x^4-49\cdot x^2+100\cdot a^2}=x^2+7\cdot x-10\cdot a$ будет иметь ровно $3$ решения?

Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S.

1) Может ли сумма быть равна 48?
2) Может ли сумма быть равна 27?
3) Какое самое маленькое значение может принимать дробное S для 2-значных исходных чисел?