Теорема о произведении отрезков секущих

Теорема о произведении отрезков секущих утверждает, что если секущая, проходящая через точку вне круга, пересекает окружность в двух точках, то произведение отрезков, образованных этой секущей, равно квадрату длины отрезка, соединяющего точку пересечения секущей с окружностью и точку, находящуюся вне круга.

Формулировка теоремы

Пусть:

• $OO$ — центр круга,
• $AA$ — точка вне круга,
• $BB$ и $CC$ — точки пересечения секущей $ABAB$ с окружностью.

Обозначим:

• $AP=dAP\; =\; d$ — расстояние от точки $AA$ до точки $BB$,
• $PB=bPB\; =\; b$ — длина отрезка от точки $BB$ до точки $CC$.

Тогда выполняется равенство:

где $rr$ — радиус окружности.

Геометрическая интерпретация

• Секущая $ABAB$ пересекает окружность в точках $BB$ и $CC$.
• Произведение отрезков $APAP$ и $PBPB$ показывает связь между длиной секущей и радиусом окружности.

Доказательство теоремы

Использование подобия треугольников

1. Рассмотрим треугольник $OABOAB$, где $OO$ — центр круга.
2. Проведем перпендикуляр из точки $OO$ на секущую, обозначим точку пересечения как $DD$.
3. По теореме Пифагора получаем:

где $AD=APAD\; =\; AP$ и $DB=PBDB\; =\; PB$.

4. Поскольку $ODOD$ является радиусом, то $OD=rOD\; =\; r$ (радиус окружности).

5. Таким образом, имеем:

6. Переписывая это, получаем:

7. Учитывая, что $PBPB$ — это оставшаяся часть секущей, мы можем записать:

Альтернативные методы

Можно также использовать координатный метод или свойства окружностей для доказательства теоремы, однако метод с использованием подобия треугольников является наиболее интуитивно понятным.

Применение теоремы

• Решение задач на нахождение длин отрезков секущих и их отношений.
• Применение в задачах, связанных с окружностями и геометрией.
• Использование в тригонометрии и аналитической геометрии.

Примеры задач

1. В круге радиусом 5 см секущая $ABAB$ пересекает окружность в точках $BB$ и $CC$. Если расстояние от точки $AA$ до точки $BB$ равно 8 см, найдите длину отрезка $PBPB$.

   • Решение: $AP\cdot PB=O{A}^2-r^2⟹8\cdot PB=O{A}^2-5^{2}AP\; \backslash cdot\; PB\; =\; OA^2\; -\; r^2\; \backslash implies\; 8\; \backslash cdot\; PB\; =\; OA^2\; -\; 5^2$.

2. Если секущая $ABAB$ пересекает окружность в точках $BB$ и $CC$, а длина отрезка $ABAB$ равна 10 см, найдите $PBPB$, если $AP=4AP\; =\; 4$ см.

   • Решение: $AP\cdot PB=O{A}^2-r^2⟹4\cdot PB=O{A}^2-r^{2}AP\; \backslash cdot\; PB\; =\; OA^2\; -\; r^2\; \backslash implies\; 4\; \backslash cdot\; PB\; =\; OA^2\; -\; r^2$.

Заключение

Теорема о произведении отрезков секущих является важным инструментом в геометрии, позволяющим находить отношения между отрезками, образованными секущими в круге. Знание этой теоремы и умение применять ее к различным задачам значительно упрощает решение геометрических задач и углубляет понимание свойств окружностей.