Основы систем счисления

Система счисления — это способ записи чисел с помощью определённого набора символов (цифр) и правил их использования.

Виды систем счисления

Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления значение цифры зависит от её положения в числе.

1. Двоичная (бинарная) система:

   • Основание: $22$.
   • Цифры: $0,10,\; 1$.
   • Пример: $101_2=1\cdot 2^2+0\cdot 2^1+1\cdot 2^0=5_{10}101\_2\; =\; 1\; \backslash cdot\; 2^2\; +\; 0\; \backslash cdot\; 2^1\; +\; 1\; \backslash cdot\; 2^0\; =\; 5\_\{10\}$.

2. Восьмеричная система:

   • Основание: $88$.
   • Цифры: $0,1,2,\dots ,70,\; 1,\; 2,\; \backslash dots,\; 7$.
   • Пример: $17_8=1\cdot 8^1+7\cdot 8^0=15_{10}17\_8\; =\; 1\; \backslash cdot\; 8^1\; +\; 7\; \backslash cdot\; 8^0\; =\; 15\_\{10\}$.

3. Шестнадцатеричная система:

   • Основание: $1616$.
   • Цифры: $0,1,2,\dots ,9,A,B,C,D,E,F0,\; 1,\; 2,\; \backslash dots,\; 9,\; A,\; B,\; C,\; D,\; E,\; F$ (где $A=10A\; =\; 10$, $B=11B\; =\; 11$, …, $F=15F\; =\; 15$).
   • Пример: $1A_{16}=1\cdot 16^1+10\cdot 16^0=26_{10}1A\_\{16\}\; =\; 1\; \backslash cdot\; 16^1\; +\; 10\; \backslash cdot\; 16^0\; =\; 26\_\{10\}$.

4. Десятичная система (общепринятая):

   • Основание: $1010$.
   • Цифры: $0,1,2,\dots ,90,\; 1,\; 2,\; \backslash dots,\; 9$.
   • Пример: $123_{10}=1\cdot 10^2+2\cdot 10^1+3\cdot 10^0=123_{10}123\_\{10\}\; =\; 1\; \backslash cdot\; 10^2\; +\; 2\; \backslash cdot\; 10^1\; +\; 3\; \backslash cdot\; 10^0\; =\; 123\_\{10\}$.

Непозиционные системы счисления

В непозиционных системах счисления значение цифры не зависит от её положения.

1. Римская система счисления:
   • Символы: $I,V,X,L,C,D,MI,\; V,\; X,\; L,\; C,\; D,\; M$.
   • Пример: $XVII=10+5+1+1=17_{10}XVII\; =\; 10\; +\; 5\; +\; 1\; +\; 1\; =\; 17\_\{10\}$.

Перевод между системами счисления

Из десятичной в любую позиционную

Метод деления с остатком:

1. Делим число на основание новой системы счисления.
2. Остаток записываем как следующую цифру числа.
3. Повторяем, пока результат деления не станет равен нулю.
4. Читаем цифры снизу вверх.

Пример: Перевод $45_{10}45\_\{10\}$ в двоичную систему.

1. $45÷2=2245\; \backslash div\; 2\; =\; 22$, остаток $11$.
2. $22÷2=1122\; \backslash div\; 2\; =\; 11$, остаток $00$.
3. $11÷2=511\; \backslash div\; 2\; =\; 5$, остаток $11$.
4. $5÷2=25\; \backslash div\; 2\; =\; 2$, остаток $11$.
5. $2÷2=12\; \backslash div\; 2\; =\; 1$, остаток $00$.
6. $1÷2=01\; \backslash div\; 2\; =\; 0$, остаток $11$.

Результат: $45_{10}=101101_{2}45\_\{10\}\; =\; 101101\_2$.

Из двоичной в десятичную

Используем разложение числа по степеням основания:

Пример: Перевод $1011_{2}1011\_2$ в десятичную систему.

Арифметические операции в различных системах счисления

Сложение

Складываем поразрядно, как в десятичной системе, с учётом переноса в следующий разряд.

Пример: $101_2+11_{2}101\_2\; +\; 11\_2$.

  101
+ 011
-----
 1000

Ответ: $1000_{2}1000\_2$.

Вычитание

Выполняется поразрядно, с заимствованием из старших разрядов, если требуется.

Пример: $1010_2-11_{2}1010\_2\; -\; 11\_2$.

  1010
- 0011
-----
  0111

Ответ: $111_{2}111\_2$.

Умножение

Выполняется как столбиком, с учётом оснований систем счисления.

Пример: $101_2\cdot 11_{2}101\_2\; \backslash cdot\; 11\_2$.

  101
x  011
------
  101
+1010
------
 1111

Ответ: $1111_{2}1111\_2$.

Применение систем счисления

1. Двоичная система:

   • Используется в компьютерах и цифровой электронике.

2. Шестнадцатеричная система:

   • Используется для представления адресов памяти, цвета в веб-дизайне (#FFFFFF).

3. Восьмеричная система:

   • Используется в старых компьютерных системах.

4. Десятичная система:

   • Применяется в повседневной жизни.

Задачи для закрепления

1. Перевести числа:

   • $23_{10}23\_\{10\}$ в двоичную систему.
   • $1011_{2}1011\_2$ в десятичную систему.

2. Выполнить операции:

   • $1101_2+101_{2}1101\_2\; +\; 101\_2$.
   • $1110_2-1001_{2}1110\_2\; -\; 1001\_2$.

3. Найти значение:

   • $3A_{16}+17_{16}3A\_\{16\}\; +\; 17\_\{16\}$ (перевести в десятичную).

4. Преобразовать число $456_{10}456\_\{10\}$ в шестнадцатеричную систему.