Симметрия относительно точки

Симметрия относительно точки — это геометрическое преобразование, при котором каждая точка фигуры отображается на противоположную точку относительно некоторой фиксированной точки, называемой центром симметрии. Это преобразование сохраняет форму и размер фигуры, но изменяет её положение. Каждая точка фигуры при этом отражается на одинаковое расстояние от центра симметрии.

Симметрия относительно точки также называется центральной симметрией.

Определение симметрии относительно точки

Симметрия относительно точки означает, что для каждой точки $AA$ фигуры существует точка $A^{\mathrm{\prime }}A\text{'}$, такая что:

1. Центр симметрии — это точка $OO$, которая является серединой отрезка $A{A}^{\mathrm{\prime }}AA\text{'}$.
2. Вектор $O{A}^{\mathrm{\prime }}OA\text{'}$ является противоположным вектору $OAOA$. Это означает, что отрезки $OAOA$ и $O{A}^{\mathrm{\prime }}OA\text{'}$ равны по длине, но направлены в противоположные стороны.

Для точки $A(x,y)A(x,\; y)$ её отражение относительно точки $O(x_0,y_0)O(x\_0,\; y\_0)$ вычисляется по следующим формулам:

где:

• $(x,y)(x,\; y)$ — координаты исходной точки,
• $(x_0,y_0)(x\_0,\; y\_0)$ — координаты центра симметрии,
• $(x^{\mathrm{\prime }},y^{\mathrm{\prime }})(x\text{'},\; y\text{'})$ — координаты симметричной точки.

Свойства симметрии относительно точки

1. Сохранение формы: Симметрия относительно точки сохраняет форму и размеры фигур. Углы и пропорции остаются неизменными.

2. Центр симметрии: Центр симметрии является неподвижной точкой при преобразовании. Если точка лежит в центре симметрии, то её отражение совпадает с самой точкой.

3. Пропорциональные расстояния: Расстояния от каждой точки фигуры до центра симметрии остаются одинаковыми по величине, но направлены в противоположные стороны.

4. Коллинеарность: Если несколько точек лежат на одной прямой, то их отражения относительно точки также будут лежать на одной прямой.

5. Отображение фигуры: При симметрии относительно точки фигура отображается на свою противоположную, сохраняя все свои геометрические характеристики (например, углы и длины сторон).

Пример 1: Симметрия относительно точки

Пусть дана точка $A(2,3)A(2,\; 3)$, и нужно найти её отражение относительно точки $O(1,1)O(1,\; 1)$.

Используем формулы для симметрии:

Таким образом, отражение точки $A(2,3)A(2,\; 3)$ относительно точки $O(1,1)O(1,\; 1)$ будет точка $A^{\mathrm{\prime }}(0,-1)A\text{'}(0,\; -1)$.

Пример 2: Симметрия для многоугольника

Предположим, у нас есть треугольник с вершинами $A(1,2)A(1,\; 2)$, $B(3,5)B(3,\; 5)$ и $C(4,1)C(4,\; 1)$, и мы хотим найти его отражение относительно точки $O(0,0)O(0,\; 0)$.

1. Для вершины $A(1,2)A(1,\; 2)$:

   $x^{\mathrm{\prime }}=2\cdot 0-1=-1,y^{\mathrm{\prime }}=2\cdot 0-2=-2x\text{'}\; =\; 2\; \backslash cdot\; 0\; -\; 1\; =\; -1,\; \backslash quad\; y\text{'}\; =\; 2\; \backslash cdot\; 0\; -\; 2\; =\; -2$

   Точка $A^{\mathrm{\prime }}A\text{'}$ будет $(-1,-2)(-1,\; -2)$.

2. Для вершины $B(3,5)B(3,\; 5)$:

   $x^{\mathrm{\prime }}=2\cdot 0-3=-3,y^{\mathrm{\prime }}=2\cdot 0-5=-5x\text{'}\; =\; 2\; \backslash cdot\; 0\; -\; 3\; =\; -3,\; \backslash quad\; y\text{'}\; =\; 2\; \backslash cdot\; 0\; -\; 5\; =\; -5$

   Точка $B^{\mathrm{\prime }}B\text{'}$ будет $(-3,-5)(-3,\; -5)$.

3. Для вершины $C(4,1)C(4,\; 1)$:

   $x^{\mathrm{\prime }}=2\cdot 0-4=-4,y^{\mathrm{\prime }}=2\cdot 0-1=-1x\text{'}\; =\; 2\; \backslash cdot\; 0\; -\; 4\; =\; -4,\; \backslash quad\; y\text{'}\; =\; 2\; \backslash cdot\; 0\; -\; 1\; =\; -1$

   Точка $C^{\mathrm{\prime }}C\text{'}$ будет $(-4,-1)(-4,\; -1)$.

Таким образом, отражённый треугольник будет иметь вершины в точках $A^{\mathrm{\prime }}(-1,-2)A\text{'}(-1,\; -2)$, $B^{\mathrm{\prime }}(-3,-5)B\text{'}(-3,\; -5)$ и $C^{\mathrm{\prime }}(-4,-1)C\text{'}(-4,\; -1)$.

Применение симметрии относительно точки

1. В геометрии: Симметрия относительно точки используется для доказательства равенства фигур и анализа свойств симметричных объектов.

2. В искусстве: Центральная симметрия используется для создания гармоничных узоров и симметричных композиций.

3. В математике и физике: Центральная симметрия применяется для упрощения расчётов в задачах с симметричными объектами.

4. В компьютерной графике: Применяется для построения симметричных объектов и анимаций.

Заключение

Симметрия относительно точки — это важное геометрическое преобразование, которое позволяет отображать фигуры на противоположные части относительно центра симметрии, сохраняя их форму и размеры. Это преобразование используется в различных областях науки, техники и искусства, помогая анализировать и создавать симметричные структуры.