Поворотная симметрия

Поворотная симметрия — это геометрическое преобразование, при котором фигура поворачивается вокруг фиксированной точки на некоторый угол. При этом фигура сохраняет свою форму и размеры, но изменяет своё положение в пространстве. Все элементы фигуры после поворота остаются на одинаковом расстоянии от центра поворота и сохраняют свою взаимную позицию относительно друг друга.

Определение поворота

Поворотная симметрия представляет собой преобразование, при котором каждая точка фигуры перемещается по дуге окружности с центром в фиксированной точке (центре поворота) и на фиксированном расстоянии, которое равно радиусу окружности. Угол поворота фиксирован, а расстояние от центра поворота до каждой точки фигуры остаётся неизменным.

Как определить поворот

Поворот относительно точки или центра происходит следующим образом:

1. Выбор центра поворота. Это точка, вокруг которой будет происходить поворот.

2. Выбор угла поворота. Угол поворота указывается в градусах или радианах и определяет, на какой угол фигура поворачивается вокруг центра.

3. Отображение точек. Каждая точка фигуры, находящаяся на некотором расстоянии от центра поворота, перемещается по дуге окружности, образуя угол, равный углу поворота, относительно центра.

Формулы для поворота

Для двухмерной плоскости можно использовать матричное представление для поворота. Пусть точка с координатами $A(x,y)A(x,\; y)$ поворачивается на угол $\theta \backslash theta$ относительно начала координат (или центра поворота). Координаты новой точки $A^{\mathrm{\prime }}(x^{\mathrm{\prime }},y^{\mathrm{\prime }})A\text{'}(x\text{'},\; y\text{'})$ вычисляются с помощью следующей формулы:

где:

• $(x,y)(x,\; y)$ — координаты исходной точки,
• $(x^{\mathrm{\prime }},y^{\mathrm{\prime }})(x\text{'},\; y\text{'})$ — координаты новой точки после поворота,
• $\theta \backslash theta$ — угол поворота (в радианах или градусах).

Свойства поворота

1. Сохранение формы и размера: Поворот сохраняет форму и размеры фигуры. Все углы и расстояния между точками остаются неизменными.

2. Центр поворота: Центр поворота является неподвижной точкой. Все точки, расположенные в центре поворота, не изменяют своего положения.

3. Периодичность: Поворот на угол $360^{\circ }360^\backslash circ$ или $2\pi 2\backslash pi$ радиан приводит фигуру в её исходное положение.

4. Однозначность: Каждый элемент фигуры после поворота переходит в единственную точку, которая соответствует ему после применения трансформации.

5. Сохранение ориентации: В отличие от симметрии относительно оси, поворот сохраняет ориентацию фигуры, то есть если фигура была ориентирована в определённом направлении (например, по часовой стрелке или против часовой стрелки), то после поворота её ориентация остаётся такой же.

Пример 1: Поворот точки

Предположим, нам нужно повернуть точку $A(2,3)A(2,\; 3)$ на угол $90^{\circ }90^\backslash circ$ против часовой стрелки относительно центра поворота $O(0,0)O(0,\; 0)$.

Применяем формулы для поворота:

Точка $A^{\mathrm{\prime }}(x^{\mathrm{\prime }},y^{\mathrm{\prime }})A\text{'}(x\text{'},\; y\text{'})$ после поворота будет иметь координаты $A^{\mathrm{\prime }}(-3,2)A\text{'}(-3,\; 2)$.

Пример 2: Поворот многоугольника

Предположим, у нас есть прямоугольный треугольник с вершинами $A(1,2)A(1,\; 2)$, $B(3,2)B(3,\; 2)$ и $C(1,5)C(1,\; 5)$. Мы хотим повернуть его на $180^{\circ }180^\backslash circ$ относительно начала координат.

1. Для вершины $A(1,2)A(1,\; 2)$:

Точка $A^{\mathrm{\prime }}(-1,-2)A\text{'}(-1,\; -2)$.

2. Для вершины $B(3,2)B(3,\; 2)$:

Точка $B^{\mathrm{\prime }}(-3,-2)B\text{'}(-3,\; -2)$.

3. Для вершины $C(1,5)C(1,\; 5)$:

Точка $C^{\mathrm{\prime }}(-1,-5)C\text{'}(-1,\; -5)$.

Таким образом, после поворота треугольник будет иметь новые вершины $A^{\mathrm{\prime }}(-1,-2)A\text{'}(-1,\; -2)$, $B^{\mathrm{\prime }}(-3,-2)B\text{'}(-3,\; -2)$ и $C^{\mathrm{\prime }}(-1,-5)C\text{'}(-1,\; -5)$.