КонспектыФизика

Закон всемирного тяготения

Закон всемирного тяготения

Формулировка закона Ньютона

Закон всемирного тяготения описывает взаимное притяжение двух точечных масс или двух сферически симметричных масс. Сила взаимного притяжения направлена по прямой, соединяющей центры масс, и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Формула для силы удобнее записывается в векторной форме:

F⃗12=−Gm1m2r2r^12\vec{F}_{12} = -G \frac{m_1 m_2}{r^2} \hat{r}_{12}

Закон всемирного тяготения - физический закон, утверждающий, что любые две материальные точки притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

Идея универсальности заключается в том, что один и тот же закон действует как для падения яблока на Землю, так и для движения планет вокруг Солнца. На схеме это часто иллюстрируют двумя массами и вектором силы между ними: {IMAGE_0}.

Гравитационная постоянная и её единицы

В формуле закона всемирного тяготения появляется числовой множитель, который называется гравитационной постоянной. Она определяет шкалу силы притяжения в системе СИ и экспериментально определяется с большой точностью.

G=6.67430×10−11 m3kg−1s−2G = 6.67430\times10^{-11}\ \mathrm{m}^3\mathrm{kg}^{-1}\mathrm{s}^{-2}

Гравитационная постоянная - фундаментальная физическая константа G, входящая в закон всемирного тяготения и задающая величину силы притяжения между двумя единичными массами на единичном расстоянии.

Поскольку G имеет размерность зависит от единиц измерения, в системе СИ она выражается через кубические метры, килограммы и секунды (см. формулу выше). Эксперименты типа крутильной балочки позволяют измерять эту постоянную.

Гравитационное поле и ускорение свободного падения

Удобно вводить понятие гравитационного поля — это свойство пространства, которое сообщает телу массой m ускорение под действием гравитационной силы. Связь силы и поля задаётся отношением силы к массe пробного тела:

g⃗(r)=F⃗m=−GMr2 r^\vec{g}(\mathbf{r})=\frac{\vec{F}}{m} = -G\frac{M}{r^2}\,\hat{r}

Гравитационное поле - физическое поле, описывающее распределение гравитационных эффектов вокруг массивных тел; численно равно силе, действующей на единицу массы пробного тела.

Вблизи поверхности планеты с массой M и радиусом R поле почти однородно, и величина ускорения свободного падения определяется простой формулой:

g=GMR2g=\frac{GM}{R^2}

Например, вес тела — это сила, с которой Земля притягивает это тело; её векторное выражение через массу тела и поле записывается как:

P⃗=mg⃗\vec{P}=m\vec{g}

Потенциальная энергия в гравитационном поле

Силы гравитации консервативны, поэтому удобно вводить потенциальную энергию взаимодействия двух масс. Потенциальная энергия зависит только от расстояния между массами и выбирается так, чтобы энергия стремилась к нулю на бесконечности.

U(r)=−Gm1m2rU(r) = -G\frac{m_1 m_2}{r}

Потенциальная энергия - скалярная функция положения тела в гравитационном поле, определяющая работу, которую может совершить или совершила бы сила при перемещении тела.

Работа силы всемирного тяготения при перемещении тела из радиуса r1 в радиус r2 выражается через разность потенциальной энергии:

W1→2=−ΔU=−Gm1m2(1r2−1r1)W_{1\to2} = -\Delta U = -G m_1 m_2\left(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_1}\right)

Следствия закона: орбиты и космические скорости

Закон всемирного тяготения служит основой для гравитационных орбит. Для равновесия центростремительной ускоряющей силы и гравитационного притяжения в круговой орбите получается выражение для орбитальной скорости тела:

vorb=GMrv_{\mathrm{orb}}=\sqrt{\frac{GM}{r}}

Для покидания поля планеты требуется скорость не меньше второй космической (скорости убегания), которая выводится из равенства кинетической энергии и абсолютной величины потенциальной энергии:

vesc=2GMRv_{\mathrm{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}

Связь закона всемирного тяготения с третьим законом Кеплера для малых тел, обращающихся вокруг массы M, даёт соотношение периода обращения и радиуса орбиты:

T2=4π2GM r3T^2=\frac{4\pi^2}{GM}\,r^3

Градиенты поля, суперпозиция и поведение внутри тел

Гравитационное поле от нескольких тел складывается по принципу суперпозиции — результирующее поле равно векторной сумме полей от каждого тела по отдельности. Это важное свойство существенно упрощает расчёты в сложных системах.

g⃗(r)=∑ig⃗i(r)\vec{g}(\mathbf{r})=\sum_i \vec{g}_i(\mathbf{r})

Для однородной сферической планеты закон всемирного тяготения приводит к интересным результатам: вне сферы поле эквивалентно полю сосредоточенной массы в центре, а внутри однородной сферы модуль поля пропорционален расстоянию от центра (линейная зависимость).

g(r)=GMR3 r(r<R)g(r) = G\frac{M}{R^3}\,r\quad (r<R)

Гравитационный потенциал и энергия на единицу массы

Удобно также работать с гравитационным потенциалом — это потенциальная энергия на единицу массы. Потенциал упрощает записывание и интегрирование при решении многих задач небесной механики и астрофизики.

ϕ(r)=−GMr\phi(r) = -\frac{GM}{r}

Гравитационный потенциал - скалярная функция положения в поле, равная потенциальной энергии единицы массы (обычно отрицательная для притягивающего поля и стремится к нулю на бесконечности).

Потенциал и поле связаны градиентом: поле равно отрицательному градиенту потенциала; это удобно использовать при решении задач устойчивости и при расчёте энергии систем.

Примеры задач и практические применения

Закон всемирного тяготения применяется в задачах выбора траекторий космических аппаратов, расчёта орбит спутников, определения массы астрономических объектов по движению их спутников и при оценке приливных эффектов.

Пример расчёта орбитальной скорости на высоте r от центра массивного тела: скорость определяется формулой vorb=GMrv_{\mathrm{orb}}=\sqrt{\frac{GM}{r}}. Зная M и r, можно найти v и далее — кинетическую и потенциальную энергию на орбите.

Пример работы силы при перемещении между двумя орбитами: изменение потенциальной энергии равно выражению W1→2=−ΔU=−Gm1m2(1r2−1r1)W_{1\to2} = -\Delta U = -G m_1 m_2\left(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_1}\right), что позволяет оценить работу, которую должна совершить тяга ракеты при манёвре.

Знание гравитационного закона критично для навигации космических аппаратов, корректировки орбит, предсказания приливов и расчёта устойчивости небесных тел.