Внутренняя энергия идеального газа

Что такое внутренняя энергия

Внутренняя энергия - суммарная энергия всех микроскопических движений и взаимодействий частиц в системе, включающая кинетическую энергию теплового движения молекул и потенциальную энергию их взаимодействий.

В школьном курсе при рассмотрении идеального газа обычно пренебрегают межмолекулярными потенциальными взаимодействиями, поэтому внутренняя энергия газа определяется только суммарной кинетической энергией его молекул. Это упрощение делает задачу аналитически решаемой и лежит в основе вывода простых формул, связывающих внутреннюю энергию с температурой и числом частиц.

Важно понимать, что внутренняя энергия — не та энергия, которую можно измерить напрямую без привязки к макроскопическим параметрам. На практике её изменение определяют по работе и количеству тепла, переданному системе, согласно первому началу термодинамики.

Идеальный газ и уравнение состояния

Идеальный газ - модель газа, частицы которого считаются материальными точками без объёма и без взаимных потенциальных взаимодействий; столкновения считаются упруго-центричными.

Статистическая физика и молекулярно-кинетическая теория показывают, что макроскопические параметры идеального газа связаны между собой уравнением состояния. В форме через число молекул это записывается как $P V = N k_B T$, а через число молей — как $P V = n R T$.

Переход от числа молей n к числу молекул N осуществляется посредством постоянной Авогадро: $N = n N_A$. Связь этих уравнений позволяет выражать энергию и другие величины в удобной форме — через N и k_B или через n и R.

Формулы для внутренней энергии идеального газа

Внутренняя энергия идеального газа пропорциональна числу частиц и температуре. Обобщённая формула для газа с f степенями свободы записывается в виде $U = \frac{f}{2} N k_B T$. Эта же формула может быть представлена через число молей: $U = \frac{f}{2} n R T$.

Степени свободы - число независимых координат кинетического движения молекулы, вкладывающих вклад в её кинетическую энергию (поступательные, вращательные, колебательные при соответствующих температурах).

Средняя кинетическая энергия одной молекулы идеального газа равна половине произведения числа степеней свободы на температуру и постоянную Больцмана: $\overline{E_{kin}} = \frac{f}{2} k_B T$. Умножая эту величину на число молекул N, получаем выражение для полной внутренней энергии U.

Частные случаи и численные константы

Для моноатомного идеального газа (атомы независимы, только поступательные движения) число степеней свободы равно трём, поэтому внутренняя энергия принимает вид $U = \frac{3}{2} N k_B T$ или эквивалентно $U = \frac{f}{2} n R T$ при f=$U = \frac{3}{2} N k_B T$ (здесь f=3).

Постоянная Больцмана - физическая константа, связывающая температуру с энергией одной молекулы; её значение равно $k_B = 1.380649\times10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}$.

Универсальная газовая постоянная - константа, входящая в уравнение состояния газа в виде $P V = n R T$, её численное значение равно $R = 8.314462618\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$. Постоянная Авогадро имеет значение $N_A = 6.02214076\times10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$ и связывает k_B и R.

Физический смысл зависимости от температуры и степеней свободы

Выражение для внутренней энергии показывает, что при фиксированном составе и объёме газа внутренняя энергия зависит лишь от температуры. Это означает, что увеличение температуры приводит к пропорциональному увеличению средней кинетической энергии молекул и, следовательно, суммарной внутренней энергии.

Количество степеней свободы f определяет, в какую меру температура влияет на энергетику молекулы. Для одноатомных газов f=3, для линейных двухатомных молекул при низких температурах обычно f=5 (поступательные + вращательные), при более высоких температурах подключаются колебательные моды, увеличивая f и меняя теплоёмкость и зависимость внутренней энергии от температуры.

Изменение внутренней энергии, работа и тепло

Первый закон термодинамики связывает изменение внутренней энергии ΔU с количеством подведённого тепла Q и выполненной системой работой A: всё это можно записать без явного присутствия формул в тексте, но при расчётах важно применять выражения для U через температуру. Так, при изохорном процессе работа равна нулю, и всё переданное тепло идёт на изменение внутренней энергии.

В изобарном или адиабатическом процессе часть энергии идёт на совершение работы, часть — на изменение внутренней энергии. Внутренняя энергия как функция только температуры облегчает анализ: при заданном изменении температуры можно прямо подсчитать изменение U, используя формулу из предыдущего раздела.

Примеры и практические задачи

Графическое и интуитивное представление

Иногда полезно представить распределение молекул по энергиям и увидеть, как при повышении температуры эта кривая смещается в сторону больших энергий. Такой рисунок иллюстрирует, что внутренняя энергия действительно увеличивается за счёт увеличения средней кинетической энергии частиц. {IMAGE_0}

Для углублённого понимания следует рассмотреть зависимость теплоёмкости при постоянном объёме от числа степеней свободы; графики и диаграммы фаз и распределения скоростей дают качественное представление о том, как микроскопические степени свободы влияют на макроскопические свойства газа. {IMAGE_1}

Заключение и важные замечания

Резюмируя, внутренняя энергия идеального газа — это сумма кинетических энергий всех молекул, прямо пропорциональная числу частиц и температуре, с учётом числа степеней свободы через множитель $U = \frac{f}{2} N k_B T$ или $U = \frac{f}{2} n R T$. Это фундаментальное понятие лежит в основе термодинамики и тепловых процессов, изучаемых в школьном курсе.

При решении задач важно обращать внимание на допустимость модели идеального газа: при высоких давлениях или низких температурах возникают взаимодействия и объём молекул, которые делают модель непригодной и требуют более сложных подходов.