Уравнение гармонических колебаний

Введение в гармонические колебания

Гармонические колебания — базовый тип механического движения, при котором координата точки меняется во времени по синусоидальному закону. Такие колебания возникают в системах, где восстановливающая сила пропорциональна смещению от положения равновесия. Типичный пример — масса, прикреплённая к пружине: при небольших отклонениях сила возвращения пропорциональна смещению, и движение получается гармоническим.

В основе теории стоит дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее баланс инерции и восстановящей силы. Это уравнение позволяет получить общую форму колебаний, определить амплитуду, фазу, частоту и энергию движения.

Гармонические колебания - колебания, при которых смещение от равновесного положения изменяется по синусоидальному или косинусоидальному закону с постоянной частотой и амплитудой.

Уравнение движения и его приведение

Для массы m, жестко связанной с пружиной коэффициента жёсткости k, уравнение движения записывается как $m\ddot{x}+k x=0$. Оно отражает равновесие между силой инерции и силой упругости: масса умноженная на ускорение плюс сила упругости равна нулю.

Разделив уравнение на массу m и обозначив квадрат угловой частоты через отношение жёсткости к массе, получают более простую форму уравнения: $\ddot{x}+\omega^{2}x=0$. Здесь видна роль угловой частоты в характере решения уравнения.

Угловая частота - параметр, определяющий скорость фазового изменения колебаний; для массы на пружине он равен $\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$.

Общее решение уравнения

Общее решение однородного линейного уравнения второго порядка — линейная комбинация синуса и косинуса. Одну из удобных форм записи общего решения дают через амплитуду и фазу: $x(t)=A\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr)$. Эта запись подчёркивает, что движение представимо как гармонический процесс с постоянной амплитудой и сдвигом по фазе.

Альтернативная форма решения через две произвольные константы выглядит как $x(t)=C_{1}\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t)$. Параметры в этой форме удобно использовать при решении задачи Коши с начальными условиями.

Амплитуда - максимальное значение смещения точки от положения равновесия; в решении она задаётся параметром, встречающимся в формулах вида $x(t)=A\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr)$.

Частота, период и связь между ними

Период колебаний — время, за которое система совершает одно полное колебание. Через угловую частоту период выражается как $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$. Обратите внимание: формула показывает обратную зависимость периода от угловой частоты.

Частота колебаний, равная числу колебаний в единицу времени, связана с периодом следующим соотношением: $f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{\omega}{2\pi}$.

Период - время одного полного колебательного цикла; вычисляется по формуле $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$.

Скорость, ускорение и связь с фазой

Если координата задаётся выражением вида $x(t)=A\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr)$, то скорость и ускорение получают простые аналитические формы. Скорость равна первой производной по времени и выражается как $v(t)=\dot{x}(t)=-A\omega\sin\bigl(\omega t+\varphi\bigr)$.

Ускорение, в свою очередь, равно второй производной и равно $a(t)=\ddot{x}(t)=-A\omega^{2}\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr)$. Из этой формулы видно, что ускорение пропорционально смещению и противоположно ему по знаку, что и определяет возвращающую природу силы.

Энергия гармонических колебаний

В гармоническом осцилляторе кинетическая энергия системы в момент времени определяется скоростью и равна $K=\dfrac{1}{2}mv^{2}$. Потенциальная энергия пружины в момент времени определяется смещением и равна $U=\dfrac{1}{2}kx^{2}$.

Сумма кинетической и потенциальной энергии остаётся постоянной во времени и равна полной энергии колебательной системы. Для гармонических колебаний полного вида эта энергия выражается через амплитуду как $E=\dfrac{1}{2}kA^{2}=\dfrac{1}{2}m\omega^{2}A^{2}$.

Энергия колебаний - суммарная механическая энергия системы, состоящая из кинетической и потенциальной частей; для гармонического осциллятора она постоянна и равна $E=\dfrac{1}{2}kA^{2}=\dfrac{1}{2}m\omega^{2}A^{2}$.

Начальные условия: определение амплитуды и фазы

Если известны начальные координата и скорость в момент времени t=0, то амплитуда и фаза гармонических колебаний определяются однозначно. Амплитуда вычисляется по формуле $A=\sqrt{x_{0}^{2}+\left(\dfrac{v_{0}}{\omega}\right)^{2}}$.

Фаза (начальная фаза) может быть найдена по соотношению между начальной координатой и начальной скоростью; один из удобных вариантов записи для фазы выглядит как $\varphi=\arctan\left(-\dfrac{v_{0}}{\omega x_{0}}\right)$.

Альтернативные формулировки и обобщения

Запись решения в виде суммы синуса и косинуса $x(t)=C_{1}\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t)$ даёт удобный способ для использования начальных условий: константы в этой записи связаны с амплитудой и фазой соотношениями $A=\sqrt{C_{1}^{2}+C_{2}^{2}},\quad \varphi=\arctan\left(-\dfrac{C_{2}}{C_{1}}\right)$.

Реальные системы часто включают затухание и внешние периодические воздействия. Уравнение с затуханием и вынуждающей силой имеет вид $\ddot{x}+2\gamma\dot{x}+\omega_{0}^{2}x=\dfrac{F(t)}{m}$. Такое уравнение описывает более общие физические ситуации, где амплитуда может убывать со временем, а под действием внешнего воздействия может возникнуть вынужденное колебание.

Амплитуда установившегося вынужденного колебания при гармоническом внешнем воздействии частоты (в обозначениях теории) определяется резонансной формулой: $A(\omega)=\dfrac{F_{0}/m}{\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+(2\gamma\omega)^{2}}}$. Это выражение показывает пики амплитуды в окрестности собственной частоты системы и влияние демпфирования на высоту и ширину резонанса.

Резонанс - явление значительного увеличения амплитуды вынужденных колебаний, когда частота внешнего воздействия приближается к собственной частоте колебательной системы.

Практические замечания и обобщения

В школьных задачах часто рассматривают идеализированный случай без затухания и сомкнутый вид пружинно-массовой системы. Знание общего вида решения, выражений для скорости и энергии позволяет быстро анализировать динамику и вычислять необходимые величины.

В более сложных системах, где присутствует нелинейность или сильное демпфирование, поведение может отличаться от простого гармонического. Тем не менее, при малых отклонениях многие системы аппроксимируются гармоническими колебаниями, что делает изучение уравнения гармонических колебаний основополагающим в механике.