Гармонические колебания

Основные понятия

Гармоническое колебание - периодическое движение вдоль одной координаты, описываемое синусоидальной функцией времени.

При изучении гармонических колебаний ключевые параметры — амплитуда, период и фаза — позволяют полностью описать положение тела в любой момент времени. Для компактного математического представления используют синусоиды и косинусоиды, которые удобно записывать в виде гармонического закона колебаний.

Амплитуда - максимальное отклонение от положения равновесия.

Фаза - величина, задающая начальное смещение синусоиды во времени.

Уравнение движения и его решение

Для массы, укреплённой на упругой тяге (идеальная пружина), уравнение движения по второму закону Ньютона записывается как равновесие массы, силы упругости и инертности. Математически это записывается в виде дифференциального уравнения второго порядка, решение которого даёт синусоидальную функцию времени.

Общее однородное уравнение движения для идеального незатухающего гармонического осциллятора имеет вид $m\ddot{x}+k x=0$. Решение этого уравнения может быть записано в виде суммы синуса и косинуса или в компактной амплитудно-фазовой форме $x(t)=A\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr)$.

Также удобна альтернатива: решение через константы интегрирования даёт вид $x(t)=C_{1}\cos\bigl(\omega t\bigr)+C_{2}\sin\bigl(\omega t\bigr)$. Амплитуда и фаза связаны с этими константами соотношениями $A=\sqrt{C_{1}^{2}+C_{2}^{2}}$ и $\varphi=\arctan\dfrac{C_{2}}{C_{1}}$.

Параметры колебательного процесса

Период - время одного полного колебания.

Период и круговая частота связаны простыми соотношениями: круговая частота определяется как корень отношения жёсткости пружины к массе, что записывается как $\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$. Период колебаний через угловую частоту выражается соотношением $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$, а частота колебаний через $f=\dfrac{\omega}{2\pi}$.

Частота - число колебаний в единицу времени.

Скорость и ускорение при гармоническом движении

Производные гармонического закона дают выражения для скорости и ускорения. Скорость как функция времени определяется как производная от смещения и записывается в виде $v(t)=-A\,\omega\sin\bigl(\omega t+\varphi\bigr)$.

Ускорение получается как вторая производная от функции положения и пропорционально смещению с обратным знаком: $a(t)=-A\,\omega^{2}\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr)$. Это свойство и является отличительной чертой гармонических колебаний: ускорение прямо пропорционально отклонению и направлено к положению равновесия.

Энергия гармонических колебаний

В идеальном (незатухающем) осцилляторе механическая энергия совокупно сохраняется и периодически переходит из потенциальной формы в кинетическую и обратно. Полная энергия остаётся постоянной и равна полу произведению жёсткости на квадрат амплитуды: $E=\dfrac{1}{2}kA^{2}$.

Кинетическая энергия в любой момент времени определяется через скорость: $K=\dfrac{1}{2}m v^{2}$, а потенциальная энергия упругой деформации — через смещение: $U=\dfrac{1}{2}k x^{2}$. Сумма этих энергий в любой момент равна полной энергии: $E=K+U$.

Затухающие колебания

В реальных системах присутствуют силы трения или сопротивления среды, приводящие к затуханию колебаний. Для описания затухающего осциллятора вводят коэффициент демпфирования. Уравнение движения с линейным затуханием имеет вид $m\ddot{x}+b\dot{x}+k x=0$.

Удобно вводить величину, называемую коэффициентом демпфирования (или параметром затухания), определяемую как $\gamma=\dfrac{b}{2m}$. При слабом затухании решение имеет вид затухающей синусоиды: $x(t)=A\,e^{-\gamma t}\cos\bigl(\omega'' t+\varphi\bigr)$, где частота свободных затухающих колебаний равна $\omega''=\sqrt{\omega^{2}-\gamma^{2}}$.

Вынужденные колебания и резонанс

Если система подвергается периодической внешней силе, уравнение движения становится неоднородным: $m\ddot{x}+b\dot{x}+k x=F_{0}\cos\bigl(\omega_{ext} t\bigr)$. Решение содержит как свободную, затухающе-теряющуюся часть, так и установившуюся гармоническую часть с частотой возмущения.

Амплитуда установившегося ответа зависит от частоты вынуждающей силы и описывается резонансной кривой. В общем виде амплитуда частотной характеристики выражается через параметры системы и частоту возмущения: $A(\omega_{ext})=\dfrac{F_{0}/m}{\sqrt{\left(\omega^{2}-\omega_{ext}^{2}\right)^{2}+\left(2\gamma\omega_{ext}\right)^{2}}}$. Резонанс достигается при приближении частоты внешнего воздействия к собственной частоте системы, что приводит к максимуму амплитуды и усилению колебаний.

Резонанс - явление значительного увеличения амплитуды вынужденных колебаний при совпадении или близости частоты внешнего воздействия с собственной частотой системы.

Добротность - безразмерный параметр, характеризующий остроту резонансного пика, определяется как $Q=\dfrac{\omega}{2\gamma}$.

Практические примеры и задачи

Гармонические колебания встречаются в множестве физических явлений: колебания пружинных маятников, небольшие колебания нитяного маятника при малых углах, электрические колебания в LC-контуре (вспомним аналогию с механическим осциллятором). Для анализа конкретной задачи обычно последовательно записывают уравнение движения, определяют собственную частоту по формуле $\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$ и решают уравнение с заданными начальными условиями.

В задачах на вынужденные колебания важно различать режимы: установившийся режим определяется по формуле амплитуды $A(\omega_{ext})=\dfrac{F_{0}/m}{\sqrt{\left(\omega^{2}-\omega_{ext}^{2}\right)^{2}+\left(2\gamma\omega_{ext}\right)^{2}}}$, а при анализе практических систем учитывают затухание по формулам $m\ddot{x}+b\dot{x}+k x=0$–$\omega''=\sqrt{\omega^{2}-\gamma^{2}}$. Понимание зависимости амплитуды от частоты позволяет предсказывать режимы резонанса и выбирать меры для их предотвращения или использования.

Итоги и рекомендации для решения задач

При решении задач на гармонические колебания полезно придерживаться алгоритма: (1) записать уравнение движения (с учетом внешних сил и затухания), например $m\ddot{x}+k x=0$ или $m\ddot{x}+b\dot{x}+k x=0$ или $m\ddot{x}+b\dot{x}+k x=F_{0}\cos\bigl(\omega_{ext} t\bigr)$; (2) найти собственные параметры системы: $\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$, $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$; (3) записать общее решение и наложить начальные условия; (4) при вынужденном режиме выделить установившуюся часть и найти амплитудно-частотную характеристику $A(\omega_{ext})=\dfrac{F_{0}/m}{\sqrt{\left(\omega^{2}-\omega_{ext}^{2}\right)^{2}+\left(2\gamma\omega_{ext}\right)^{2}}}$.

Запоминание ключевых выражений для скорости и ускорения ($v(t)=-A\,\omega\sin\bigl(\omega t+\varphi\bigr)$, $a(t)=-A\,\omega^{2}\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr)$), а также для энергий ($E=\dfrac{1}{2}kA^{2}$–$E=K+U$) значительно упрощает проверку правильности решения и анализ физического смысла результата. Практикуйтесь на задачах с разными начальными условиями и с внешними периодическими силами, чтобы научиться быстро определять режимы движения и возможные эффекты резонанса.