Термодинамические процессы в идеальном газе

Общие сведения об идеальном газе

Идеальный газ - модель газа, частицы которого считаются материальными точками, не взаимодействующими между собой, и кинетическая энергия полностью определяется тепловым движением.

Термин «идеальный газ» используется как приближение для описания поведения реальных газов при невысоких плотностях и не слишком низких температурах. В рамках этой модели легко выводятся соотношения между давлением, объемом и температурой, а также формулы для внутренней энергии и теплоты.

В школьном курсе идеальный газ часто рассматривают в задачах на изопроцессы, на работу газа и на применение первого закона термодинамики. Модель упрощает расчеты и даёт физическую интуицию для более сложных случаев.

Уравнение состояния идеального газа

Связь между давлением, объёмом и температурой идеального газа выражается уравнением состояния, которое для количества вещества n имеет вид $P\,V = n\,R\,T$.

Это уравнение позволяет переходить между различными представлениями: через число молей n и газовую постоянную R либо через число частиц N и постоянную Больцмана k_B. Удобно помнить, что при фиксированном количестве вещества зависимость между p и V при заданной T задаётся этим соотношением.

Уравнение состояния служит основой для вывода выражений для энергии, теплоёмкостей и других величин, используемых при рассмотрении процессов, происходящих с газом.

Основные изопроцессы: изотермический, изобарический, изохорный

Изопроцесс - термодинамический процесс, при котором один из параметров состояния (температура, давление или объём) остаётся постоянным.

Изотермический процесс происходит при постоянной температуре. Для идеального газа изменение внутренней энергии при изотерме равно нулю, поэтому изменение теплоты равно работе, выполненной газом. Это записывается как $\Delta U = 0$ и для количества вещества n тепло равно $Q = W = n R T \ln\frac{V_2}{V_1}$ при переходе от объёма V_1 к V_2.

Изобарический процесс проходит при постоянном давлении. Работа при таком процессе вычисляется по формуле $W = p\,\Delta V$. Количество подведённой теплоты определяется через теплоёмкость при постоянном давлении: $Q = n C_p \Delta T$.

Изохорный процесс означает постоянный объём. В этом случае работа газа равна нулю ($W = 0$), а тепло идёт только на изменение внутренней энергии: $Q = n C_v \Delta T$.

Адиабатный и политропный процессы

Адиабатный процесс - процесс, при котором теплообмен с окружающей средой отсутствует (Q = 0), то есть система теплоизолирована.

Для адиабатного процесса идеального газа выполняется соотношение $P\,V^{\gamma} = \mathrm{const}$, где $\gamma = \dfrac{C_p}{C_v}$ — показатель адиабаты (отношение теплоёмкостей при постоянном давлении и при постоянном объёме). Кроме того, для адиабаты часто используют соотношение $T\,V^{\gamma - 1} = \mathrm{const}$ между температурой и объёмом.

Работа, совершённая газом при адиабатном процессе между состояниями 1 и 2, может быть выражена через начальные и конечные значения давления и объёма: $W = \dfrac{P_1 V_1 - P_2 V_2}{\gamma - 1}$.

Политропный процесс - процесс, при котором выполняется соотношение $P\,V^{n} = \mathrm{const}$ с некоторым показателем n. Частные случаи n = 0, n = 1, n = γ и n → ∞ соответствуют изобарному, изотермическому, адиабатному и изохорному процессам соответственно.

Работа газа и её вычисление

Работа, совершаемая газом при квазистатическом процессе, определяется интегралом по изменению объёма: $W=\int p\,dV$. На диаграмме p(V) это соответствует площади под кривой процесса между двумя объёмами.

В частных случаях интеграл сводится к простым выражениям. Например, при постоянном давлении работа равна $W = p\,\Delta V$, при постоянном объёме работа равна $W = 0$. Для изотермы работа задаётся формулой $Q = W = n R T \ln\frac{V_2}{V_1}$.

Важно учитывать направление: если газ расширяется, работа, совершаемая газом над внешней средой, положительна; при сжатии — отрицательна (в записи первого закона знаки учитываются соответствующим образом).

Первый закон термодинамики и внутренняя энергия

Внутренняя энергия - суммарная кинетическая и потенциальная энергия всех частиц системы; для идеального газа потенциальная энергия взаимодействия пренебрежимо мала, поэтому U определяется кинетической энергией молекул.

Первый закон термодинамики для замкнутой системы формулируется как баланс энергии: $\Delta U = Q - W$. Здесь ΔU — изменение внутренней энергии, Q — тепло, подведённое к системе, W — работа, выполненная системой.

Для идеального одноатомного газа внутренняя энергия зависит только от температуры и выражается формулой $U = \dfrac{3}{2} n R T$. Более общо для газа с f степенями свободы U = $Q = W = n R T \ln\left(\dfrac{V_2}{V_1}\right)$.

Из этих соотношений следует, например, что при изотермическом процессе ΔU = $\Delta U = 0$, поэтому Q = W; при изохорном процессе W = $W = 0$, и всё подведённое тепло идёт на изменение внутренней энергии по формуле $Q = n C_v \Delta T$.

Теплоёмкости и их соотношения

Теплоёмкости при постоянном давлении и при постоянном объёме связаны базовым соотношением $C_p - C_v = R$. Отношение этих теплоёмкостей даёт показатель адиабаты $\gamma = \dfrac{C_p}{C_v}$.

Знание теплоёмкостей позволяет легко вычислять количество теплоты при изобарном и изохорном процессах: Q при изохоре даётся $Q = n C_v \Delta T$, а при изобаре — $Q = n C_p \Delta T$.

Эти выражения широко используются при решении задач на нагревание, охлаждение и при переходах между различными состояниями газа.

Диаграмма PV и термодинамические циклы

Диаграмма давления-объёма (PV-диаграмма) — основной инструмент для наглядного представления процессов. На такой диаграмме работа газа равна площади под кривой процесса между двумя объёмами.

{IMAGE_0} На диаграмме можно показать линейную последовательность процессов, например цикл Карно, включающий две адиабаты и две изотермы. КПД обратимого цикла Карно выражается формулой $\eta = 1 - \dfrac{T_c}{T_h}$, где T_h и T_c — температуры нагревателя и холодильника соответственно.

Циклы изображаются на PV-диаграмме как замкнутые контуры. Положительная работа за цикл соответствует направлению обхода, при котором газ совершает положительную работу за счёт теплообмена с нагревателем.

Практические примеры и разбор типичных задач

Типичные задачи школьного уровня включают вычисление работы при различных изопроцессах, определение количества теплоты и изменение внутренней энергии. Важно по шагам выявлять, какой параметр постоянен, и подставлять соответствующие формулы.

При решении задач полезно помнить, что многие величины можно выразить через параметры начального и конечного состояний с помощью уравнения состояния $P\,V = n\,R\,T$ и соотношений для конкретного процесса (изотерма, адиабата и т.д.).

{IMAGE_1} Рекомендуется тренироваться на задачах разного типа: расчёт работы, вычисление КПД простых циклов, определение конечной температуры и давления после перехода через несколько процессов.