Сила упругости и законы Гука

Общее понятие силы упругости

Сила упругости - силовое взаимодействие, возникающее в деформированном теле в результате упругого восстановления его формы и объёма. Эта сила стремится вернуть тело в исходное (недеформированное) состояние.

Микроскопически упругая реакция связана с квантово-механическими и электростатическими силами между атомами и молекулами: при небольших смещениях положения частиц возвращающая сила пропорциональна этому смещению в пределах упругой области. В простой модели пружины это выражается законом Гука в векторной форме $\vec{F} = -k\,\vec{x}$ .

Сила упругости направлена противоположно направлению смещения точки тела относительно положения равновесия. Для линейных упругих систем говорит о том, что при увеличении смещения сила растёт пропорционально величине смещения до достижения предела упругости.

Формулировка закона Гука

Закон Гука - эмпирическое соотношение, утверждающее, что в пределах малых деформаций упругая сила пропорциональна величине изменения формы или размера тела.

В простейшем случае (пружина, деформация вытяжением или сжатием) закон формулируется как пропорциональность между модулем силы и смещением от равновесия. Математически это выражается знаком, показывающим направление силы, и коэффициентом жёсткости пружины k: величина и направление силы задаются формулой $\vec{F} = -k\,\vec{x}$ .

Важно: закон Гука выполняется только до предела упругости. При больших деформациях возникают пластические изменения структуры материала, при которых пропорциональность нарушается и возвращение в исходное состояние уже не происходит.

Работа и потенциальная энергия упругости

Работа, совершаемая силой упругости при перемещении тела из положения равновесия до смещения x, вычисляется как интеграл по пути приложения силы. Этот интеграл для линейной зависимости даётся выражением $W=\int_{0}^{x}k x''\,dx''=\frac{1}{2}k x^{2}$ .

Результатом вычисления интеграла является потенциальная энергия упругости, аккумулируемая в системе при деформации, и равная $U = \frac{1}{2}k x^{2}$ . Эта энергия является скалярной величиной и при обратном возвращении тела в равновесие переходит в другие формы: кинетическую энергию или тепло при наличия трения.

Пример: пусть пружина имеет жёсткость и смещена на некоторую величину. Для численного примера возьмём $k=200\ \mathrm{N\!/m}$ и $x=0.05\ \mathrm{m}$ . Сила по закону Гука равна $F=kx=200\cdot0.05=10\ \mathrm{N}$ , а запасённая потенциальная энергия вычисляется по формуле $U = \frac{1}{2}k x^{2}$ . Для выбранных чисел численно это даёт $U=\dfrac{1}{2}\cdot200\cdot0.05^{2}=0.25\ \mathrm{J}$ .

Соединение пружин: последовательное и параллельное

При практическом соединении пружин их совместная жёсткость меняется. В параллельном соединении пружины действуют параллельно и суммарная жёсткость равна сумме жёсткостей отдельных пружин, что выражается формулой $k_{\text{eq}}=k_{1}+k_{2}$ .

В последовательном (сериальном) соединении деформация общей системы при общем усилии складывается, и обратная величина эквивалентной жёсткости равна сумме обратных величин жёсткостей отдельных пружин: $\frac{1}{k_{\text{eq}}}=\frac{1}{k_{1}}+\frac{1}{k_{2}}$ . При большом числе последовательно соединённых элементов эквивалентная жёсткость стремится уменьшаться.

Пример: две пружины имеют жёсткости $k_{1}=100\ \mathrm{N\!/m}$ и $k_{2}=300\ \mathrm{N\!/m}$ . В параллельном соединении их эквивалентная жёсткость равна $k_{\text{eq (parallel)}}=k_{1}+k_{2}=100+300=400\ \mathrm{N\!/m}$ . В последовательном соединении эквивалентная жёсткость равна $k_{\text{eq (series)}}=\left(\dfrac{1}{k_{1}}+\dfrac{1}{k_{2}}\right)^{-1}=75\ \mathrm{N\!/m}$ .

Упругие свойства материалов: закон Гука для сплошных сред

Модуль Юнга - материальная константа, характеризующая связь между относительной деформацией и нормальным напряжением в упругой области для однородного изотропного материала.

В теории упругости для однородного стержня при малых деформациях связь между напряжением σ и относительной деформацией ε задаётся законом Гука для сплошных сред: $\sigma=E\varepsilon$ . Здесь модуль Юнга E зависит от материала и отражает его жёсткость на уровне макроскопии.

Относительная деформация определяется как отношение изменения длины к первоначальной длине, формула даётся выражением $\varepsilon=\dfrac{\Delta L}{L}$ , а нормальное напряжение связано с продольной силой через $\sigma=\dfrac{F}{A}$ . Комбинируя эти соотношения, получают выражение для силы, возникающей при растяжении стержня: $F=\dfrac{E A}{L}\,\Delta L$ .

Колебания пружинного маятника

Если к пружине прикреплён груз массы m и система отклонена от положения равновесия, возникает гармоническое колебание с частотой, определяемой жёсткостью пружины и массой груза. Угловая собственная частота колебаний даётся выражением $\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$ .

Соответствующий период колебаний определяется формулой $T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ . Полная механическая энергия при гармонических колебаниях представляет собой сумму кинетической и потенциальной частей и равна максимальной потенциальной энергии при амплитуде A: $E_{\text{max}}=\dfrac{1}{2}k A^{2}$ .

Пример: маятник массы $m=0.5\ \mathrm{kg}$ подвешен к пружине жёсткостью $k=200\ \mathrm{N\!/m}$ . Тогда угловая частота равна $\omega=\sqrt{\dfrac{200}{0.5}}=20\ \mathrm{rad/s}$ , а период колебаний составляет $T=2\pi\sqrt{\dfrac{0.5}{200}}\approx0.314\ \mathrm{s}$ .

Практические замечания и предельные случаи

В реальных системах идеальный закон Гука реализуется лишь для малых деформаций. При больших нагрузках материал может перейти в пластическое состояние, проявится гистерезис или усталостное разрушение. Потери энергии на внутреннее трение приводят к затуханию колебаний.

При проектировании пружин и упругих элементов важно учитывать температурную зависимость модулей упругости, предел прочности и условия крепления, так как они существенно влияют на эксплуатационные характеристики системы и на корректность применения линейных моделей.

Основные

Курсы

Другое