Работа газа при различных процессах

Общее определение работы газа

Работа газа - скалярная величина, равная энергии, которую получает или отдает газ при переходе из одного состояния в другое под действием внешних сил.

Для квазистатического процесса элементарная работа газа определяется через элементарное перемещение внешних сил, действующих со стороны давления. Это выражение удобно записывать в дифференциальной форме как $dW = P\,dV$.

Полная работа, совершенная газом при переходе от начального объема к конечному, находится интегрированием элементарной работы по пути в пространстве параметров и записывается как $W = \int_{V_1}^{V_2} P\,dV$. Важно понимать, что значение интеграла зависит от конкретного пути (процесса), по которому происходит переход между состояниями, а не только от начального и конечного состояний.

В контексте идеального газа связь между макроскопическими параметрами давления, объема и температуры задается уравнением состояния $PV = nRT$, которое часто применяется при выводе выражений для работы в конкретных процессах.

Изопроцессы: изобарный и изохорный

Изопроцесс - термодинамический процесс, при котором одна из величин (давление, объем или температура) остается постоянной.

При изобарном процессе давление остается постоянным, поэтому интеграл для работы упрощается. Работа газа в изобарном процессе вычисляется по формуле $W = P\,(V_2 - V_1)$. На практике это означает, что при равномерном внешнем давлении работа равна этому давлению, умноженному на изменение объема.

В противоположность изобарному, при изохорном процессе объем остается постоянным. Так как элементарная работа пропорциональна приращению объема, работа газа при изохорном процессе равна нулю, что формально выражается как $W = 0$. Это важный результат: при изохорном нагреве или охлаждении энергия, полученная или отданная системой, идет полностью на изменение внутренней энергии, а не на выполнение работы.

Изотермический процесс

Изотермический процесс - процесс, при котором температура системы остается постоянной.

Для идеального газа при изотермическом процессе температура постоянна, следовательно, из уравнения состояния давление является функцией объема: $P(V) = \displaystyle\frac{nRT}{V}$. Подставляя это выражение в общий интеграл для работы, получаем формулу для работы при изотермическом обратимом процессе: $W = nRT\ln\displaystyle\frac{V_2}{V_1}$.

Физический смысл этой формулы таков: при изотермическом расширении внутренняя энергия идеального газа не меняется, поэтому вся теплота, сообщенная системе, преобразуется в работу, выполняемую газом. Обратный процесс (сжатие) отражается знаком результата формулы и соответствует работе, совершенной над газом.

{IMAGE_0}

Адиабатический процесс

Адиабатический процесс - процесс, при котором теплообмен с окружающей средой отсутствует (Q = 0), и изменения энергии системы происходят только за счет работы.

Для обратимого адиабатического процесса идеального газа выполняется соотношение Пуассона, которое связывает давление и объем: $PV^{\gamma} = \mathrm{const}$. Это соотношение позволяет исключить давление из интеграла и вывести выражение для работы в терминах начальных и конечных состояний.

Одно из удобных выражений для работы при адиабатическом процессе имеет вид $W = \displaystyle\frac{P_1V_1 - P_2V_2}{\gamma - 1}$. Это выражение удобно применять, когда известны начальные и конечные давления и объемы. Альтернативно, работу можно выразить через изменение температуры и теплоемкость при постоянном объеме: $W = nC_v(T_1 - T_2)$.

Заметим, что при адиабатическом расширении температура газа падает, а при сжатии — растет. Это следует из того, что при Q=0 изменение внутренней энергии равно минус работе по первому началу термодинамики: $\Delta U = Q - W$ и свойствам теплоемкостей. Важная связь между теплоемкостями дается формулой $\gamma = \displaystyle\frac{C_p}{C_v}$.

Графический смысл работы и вычисление по диаграмме P–V

Работа газа при квазистатическом процессе на диаграмме давление–объем равна площади под кривой процесса. Это вытекает непосредственно из выражения для работы в виде интеграла $W = \int_{V_1}^{V_2} P\,dV$ и позволяет наглядно оценивать масштаб совершенной работы по форме кривой.

Разные процессы дают разные формы кривых на диаграмме. Изобарный процесс — горизонтальная линия, изохорный — вертикальная, изотермический и адиабатический — специфические убывающие кривые, для которых площади под кривой можно вычислять аналитически через соответствующие формулы (см. выше).

Практические замечания и подсказки при расчетах

При решении задач важно следить за системами единиц: давление измеряется в паскалях, объем в кубических метрах, температура в кельвинах, тогда работа будет в джоулях. Часто в задачах дают молярные величины, тогда удобно пользоваться универсальной газовой постоянной и формулой состояния, приведенной выше.

Еще одна типичная ошибка — путать направление работы и знаки в первом начале термодинамики. Принято считать положительной работу, совершаемую газом над окружением. При записи уравнений и подстановке чисел внимательно отслеживайте знаки и физический смысл процесса (расширение или сжатие).

Наконец, при применении формул для адиабатического процесса убедитесь, что используете правильное значение показателя адиабаты для данного газа (моноатомный, диатомный и т.д.). Классические значения для идеальных газов получаются из соотношений между теплоемкостями, как было указано выше.