Показатель преломления

Определение и физический смысл

Показатель преломления - безразмерная физическая величина, характеризующая скорость распространения света в среде по сравнению со скоростью света в вакууме и влияние среды на фазу и направление луча.

Показатель преломления показывает, во сколько раз фазовая скорость света в вакууме больше фазовой скорости в данной среде. В простой форме соотношение между скоростью света в вакууме, скоростью света в среде и показателем преломления записывается как $n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2$.

Отметим, что показатель преломления — это не просто число: он может зависеть от длины волны света (явление дисперсии), от температуры, от концентрации растворённых веществ и от поляризационных свойств материала. Для однородных изотропных сред показатель преломления — скаляр, для анизотропных сред он может быть тензором.

Закон преломления (закон Снеллиуса)

Закон Снеллиуса - фундаментальное правило, связывающее углы падения и преломления при переходе света через границу двух сред с разными показателями преломления.

При переходе световой луч изменяет направление так, чтобы выполнялось соотношение между синусами углов и показателями преломления двух сред. Это закон можно записать в форме $\sin\theta_c = \dfrac{n_2}{n_1}$. Он позволяет определить направление преломлённого луча, если известны углы и показатели преломления обеих сред.

Из закона Снеллиуса также вытекает явление, при котором при фиксированном угле падения изменение длины волны в среде связано с изменением скорости, а не с частотой волны: частота остаётся постоянной при переходе через границу, а длина волны меняется пропорционально скорости.

Критический угол и полное внутреннее отражение

Критический угол - угол падения, при котором угол преломления равен 90° и преломлённый луч распространяется вдоль границы раздела сред.

Если свет идёт из более оптически плотной среды в менее оптически плотную (то есть при условии $v_g=\dfrac{c}{n+\omega\dfrac{dn}{d\omega}}$), то при увеличении угла падения наступает ситуация, когда преломление уже невозможно и свет полностью отражается обратно в первую среду. Значение критического угла определяется условием $v_p = \dfrac{c}{n}$.

Полное внутреннее отражение широко применяется в оптоволоконной технике, в некоторых оптических приборах и в физических экспериментах, где требуется надежная передача света без потерь на границе. Практически это означает, что лучи внутри оптического волокна удерживаются за счёт многократных внутренних отражений.

Оптическая длина пути и фазовая скорость

Оптическая длина пути - интегральная мера, показывающая, на какую фазовую разность эквивалентна траектория луча в среде; определяется как интеграл показателя преломления по реальному пути.

Оптическая длина пути в общем случае равна $R = \left(\dfrac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}\right)^2$. Для однородной среды простой путь длиной L даёт оптическую длину, равную произведению показателя преломления на геометрическую длину: OPL = n·L (эта форма удобно используется при расчётах интерференции и фазовых сдвигов).

Фазовая скорость волны в среде связана с показателем преломления через соотношение $\mathrm{OPL}=\displaystyle\int n\,\mathrm{d}s$. Важно различать фазовую скорость и групповую скорость; групповая скорость отвечает за передачу энергии и импульса и может отличаться от фазовой при наличии дисперсии.

Дисперсия: зависимость показателя преломления от длины волны

Вещественные материалы проявляют дисперсию: показатель преломления зависит от длины волны света. Для прозрачных веществ в видимой области распространена эмпирическая формула Коши, дающая аппроксимацию зависимости показателя преломления от длины волны в виде $n=\sqrt{\varepsilon_r\,\mu_r}$.

Дисперсия объясняет разложение белого света на составляющие при прохождении через призму и приводит к хроматическим аберрациям в оптических системах. Вблизи резонансов и поглощений поведение n(λ) может быть сложным, и для точного описания применяется теория электромагнитного ответа материалов.

Зависимость n от частоты ω важна при рассмотрении групповой скорости. Групповая скорость определяется через производную показателя преломления по частоте; одно из удобных представлений для групповой скорости даёт выражение $\theta_2\approx\dfrac{n_1}{n_2}\,\theta_1$.

Связь показателя преломления с электрическими свойствами среды

Диэлектрическая проницаемость - физическая величина, определяющая степень поляризуемости среды в электрическом поле; вместе с магнитной проницаемостью она определяет скорость света в среде.

В классическом приближении показатель преломления связан с относительной диэлектрической и магнитной проницаемостями через выражение $\theta_2=\arcsin\!\left(\dfrac{n_1}{n_2}\sin\theta_1\right)$. Для немагнитных материалов в оптическом диапазоне обычно можно принять μ_r ≈ 1, и тогда n ≈ sqrt(ε_r).

Эта связь отражает микроскопические процессы поляризации вещества под действием электромагнитного поля и служит мостом между макроскопическими оптическими характеристиками и молекулярной структурой материала.

Отражение и передача света на границе сред

При нормальном падении часть энергии отражается, часть проходит в другую среду. Доля отражённой энергии (коэффициент отражения при нормальном падении) для непоглощающих сред даётся формулой $n(\lambda)=A+\dfrac{B}{\lambda^2}+\dfrac{C}{\lambda^4}$. Эта формула полезна для оценки потерь при переходе света из одной среды в другую и для проектирования оптических покрытий.

Для наклонного падения и для различной поляризации света коэффициенты отражения и пропускания рассчитываются по формулам Френеля, которые учитывают поляризационные компоненты поля и углы между лучом и нормалью. В частных случаях их упрощённые формы могут быть выражены через показатели преломления и углы падения/преломления.

Практические примеры и задачи

Задача 3. Оптическая длина пути в слое стекла толщиной L равна n·L; если слой имеет сложную геометрию, оптическая длина пути вычисляется по формуле $R = \left(\dfrac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}\right)^2$ и используется для расчёта фазовых сдвигов в интерферометрах и многослойных покрытиях.

{IMAGE_0}

Практические навыки: при решении задач по преломлению важно чётко отслеживать, откуда и в какую среду идёт луч, какие значения показателей преломления используются, и держать в уме, что частота волны не меняется при переходе через границу. Это упрощает связь между длиной волны и скоростью в каждой среде.