Напряжённость электрического поля

Определение и физический смысл

Напряжённость электрического поля - векторная физическая величина, характеризующая силу, действующую на единичный положительный пробный заряд в данной точке поля. Для точного количественного определения используется соотношение $\vec{F}=q\,\vec{E}$.

Напряжённость показывает «силовую активность» поля: вектор напряжённости указывает направление силы, с которой поле будет действовать на положительный заряд, а модуль характеризует величину этой силы на один кулон заряда. Обратное следствие — сила, действующая на заряд q в поле выражается через напряжённость как $1\,\mathrm{N/C}=1\,\mathrm{V/m}$.

В физике важно различать внешнее поле и поле, создаваемое самими исследуемыми зарядами: при определении напряжённости используется условный бесконечно малый пробный заряд, чтобы не искажать поле исследуемой системы. На практике пробный заряд выбирают настолько малым, чтобы его влияние на распределение других зарядов можно было пренебречь.

Единицы измерения и направленность

В системе СИ напряжённость измеряется в ньютонах на кулон или, что эквивалентно, в вольтах на метр; это выражается равенством $F=k\,\dfrac{q_1\,q_2}{r^2}$. Оба обозначения отражают одно и то же физическое содержание: отношение силы к заряду и отношение разности потенциалов к расстоянию в однородном поле.

Направление вектора напряжённости задаётся так: если на положительный пробный заряд действует сила в направлении от точки A к точке B, то вектор напряжённости в данной точке направлен аналогично этому направлению. Векторная природа важна при суммировании вкладов нескольких зарядов и при вычислении работы сил электрического поля.

Напряжённость поля точечного заряда

Поле точечного заряда — простейший и важнейший случай. Величина силы взаимодействия двух точечных зарядов задаётся законом Кулона, запись которого для модуля силы выглядит как $E=k\,\dfrac{q}{r^2}$. Этот закон является основой вывода выражения для напряжённости поля точечного заряда.

Величина напряжённости поля, создаваемого точечным зарядом q на расстоянии r от него, равна по модулю $\vec{E}=k\,\dfrac{q}{r^2}\,\hat{r}$. Если нужно учитывать направление, то векторная форма записывается как $k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}$, где единичный вектор показывает направление от заряда к точке наблюдения (или обратно, если заряд отрицательный). Для записи постоянной пропорциональности часто вводят величину k, которая в системе СИ выражается через электрическую постоянную: $\vec{E}=\sum_{i}\vec{E}_i$.

На рисунке ниже схематично показаны линии напряжённости и направление вектора в нескольких точках поля точечного положительного заряда. {IMAGE_0}

Принцип суперпозиции

Для системы нескольких зарядов результирующая напряжённость в данной точке вычисляется как векторная сумма напряжённостей, создаваемых каждым зарядом в отдельности. Это принцип суперпозиции, математически формулируемый как $\vec{E}=-\nabla V$. Принцип справедлив при отсутствии нелинейных эффектов и в задачах классической электростатики.

Принцип суперпозиции облегчает расчёт поля сложных систем: вместо решения уравнений для всей конфигурации сразу достаточно суммировать вклады элементарных источников (точечных зарядов, распределений с высокой симметрией). При практических вычислениях удобно разложить векторы на компоненты и суммировать проекции по координатам.

Связь напряжённости с потенциалом и работой сил

Напряжённость связана с электрическим потенциалом как векторное поле, равное отрицательному градиенту потенциала, что записывается формулой $\Delta V=-\vec{E}\cdot\vec{d}$. Это ключевое соотношение показывает, что напряжённость указывает направление наибыстрейшего убывания потенциала и что поля с определённым потенциалом являются потенциальными (ротор напряжённости равен нулю в электростатике при отсутствии магнитных эффектов).

Для однородного поля изменение потенциала между двумя точками на расстоянии d в направлении поля выражается как $\Delta U=q\,\Delta V$. Работа электрических сил при перемещении заряда q между этими точками связана с изменением потенциальной энергии согласно $E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}$. Эти соотношения удобны при решении задач на работу и энергетику зарядов в электрическом поле.

Однородное поле и закон Гаусса

Однородное поле возникает в приближении между большими параллельными плоскими проводниками: в центральной области поле практически одинаково по модулю и направлению. Напряжённость однородного поля между двумя бесконечными плоскими равномерно заряженными обкладками определяется через поверхностную плотность заряда σ как $\oint\limits_{S}\vec{E}\cdot d\vec{A}=\dfrac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$. Такое выражение вытекает из применения теоремы Гаусса.

Закон Гаусса в интегральной форме, один из фундаментальных законов электростатики, связывает поток напряжённости через замкнутую поверхность с зарядом, заключённым внутри этой поверхности, и записывается как {FORMULA_13}. Этот закон особенно удобен при наличии высокой симметрии: сферической, цилиндрической или плоской, и позволяет найти напряжённость без сложного интегрирования распределений зарядов.

Примеры задач и приёмы расчёта

При решении задач на напряжённость полезно выбрать систему координат, в которой симметрия задачи максимально явна, и составить план: 1) определить источник поля; 2) выбрать элементарный вклад; 3) применить принцип суперпозиции или закон Гаусса; 4) при необходимости разложить векторы на проекции.

Типичные приёмы включают использование образцовых выражений для поля точечного заряда, поля равномерно заряженной плоскости, поля бесконечной нитки и поля слоя. Часто задача сводится к суммированию вкладов или нахождению компоненты по нужной оси с учётом симметрии.

Важной практической деталью является проверка размерности полученного результата и проверка предельных случаев: при стремлении расстояния к бесконечности напряжённость должна стремиться к нулю, при совпадении точек источника и наблюдения выражение должно отражать особенности модели (для точечного заряда возникает сингулярность). Такие проверки помогают избегать ошибок при сложных преобразованиях.