Магнитное поле и сила Лоренца

Понятие магнитного поля

Магнитное поле - состояние пространства вокруг двигающихся зарядов и магнитных диполей, при котором на другие движущиеся заряды и на магнитные диполи действует сила магнитного происхождения.

Магнитное поле описывают векторной величиной, называемой магнитной индукцией или просто индукцией. Индукция показывает направление и «силу» магнитного воздействия в каждой точке пространства. Для графического представления используют силовые линии магнитного поля: направления линий совпадают с направлением вектора индукции, а плотность линий характеризует величину индукции.

Магнитное поле неразрывно связано с электрическими токами и движущимися зарядами: изменение электрического поля или наличие тока порождает магнитную индукцию. На макроуровне магнитное поле можно измерять и отображать, что важно для практических задач — от навигации до устройства электрооборудования.

Источники магнитного поля

Источник магнитного поля - электрический ток или магнитный диполь (например, элементарный магнит или молекула с некомпенсированными спиновыми моментами), создающие в окружающем пространстве магнитную индукцию.

Основной закон, позволяющий вычислять вклад элементарного участка тока в магнитную индукцию в данной точке, формулируется законом Био-Савара-Лапласа. Для бесконечно малого участка тока выражение для векторного приращения магнитной индукции записывают как $d\mathbf{B} = \dfrac{\mu_0}{4\pi} \dfrac{I\, d\mathbf{l}\times \hat{\mathbf{r}}}{r^2}$.

Для простых геометрий получают простые формулы. Например, магнитная индукция у прямого бесконечного провода на расстоянии r от оси определяется формулой $B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$. Это выражение широко используется при расчёте полей в проводниках и обмотках.

Сила Лоренца и её свойства

Сила Лоренца - сила, действующая на точечный заряд, движущийся в электромагнитном поле; в общем виде это векторная сумма воздействия электрического и магнитного полей.

Векторная запись силы Лоренца даёт полное представление о воздействии полей на заряд: $\mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times \mathbf{B})$. Здесь видно, что магнитная часть силы пропорциональна векторному произведению скорости и индукции и поэтому всегда перпендикулярна скорости заряда.

Модуль магнитной составляющей силы Лоренца, действующей на заряд, движущийся в магнитном поле под углом \theta к направлению индукции, определяется формулой $F = q v B \sin\theta$. Из этого следует, что максимальная сила достигается при движении перпендикулярно линиям индукции, а при движении вдоль линий магнитная сила равна нулю.

Одно из важных свойств магнитной силы — она не совершает работу над зарядом, поскольку всегда перпендикулярна мгновенному направлению движения. Это формально выражается равенством работы по пути к интегралу скалярного произведения силы и перемещения: $W = \int \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = 0$.

Движение заряда в однородном магнитном поле

Если заряд движется в однородном магнитном поле со скоростью, перпендикулярной индукции, то траектория будет окружностью: магнитная сила обеспечивает центростремительное ускорение. Радиус циклической траектории (радиус Лармора или циклотронный радиус) можно найти из равновесия центростремительной силы и магнитной силы: $r = \dfrac{m v}{|q| B}$.

Уголовая скорость движения заряда в магнитном поле (циклотроная частота) не зависит от скорости и выражается формулой $\omega = \dfrac{|q| B}{m}$. Соответственно период обращения равен $T = \dfrac{2\pi m}{|q| B}$. Эти соотношения лежат в основе масс-спектрометрии и работы циклотронных ускорителей.

Если скорость имеет компоненту вдоль поля, то траектория образует винтовую линию (спираль): продольная компонента даёт скольжение вдоль оси поля, а перпендикулярная — круговое вращение.

Силы между токами и магнитный момент

Два параллельных проводника с токами взаимодействуют магнитно: создаваемое первым проводом поле действует на второй, и наоборот. Для силы на единицу длины между двумя бесконечными параллельными токами справедлива формула $\dfrac{F}{L} = \dfrac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}$. Это выражение используется для определения амперметрической единицы силы и в задачах по магнитным материалам.

На элемент тока длиной d\mathbf{l} в поле действует дифференциальная сила, выражаемая законом Ампера: $d\mathbf{F} = I d\mathbf{l}\times \mathbf{B}$. Это удобно при разборе сложных контуров и вычислении распределённых усилий в катушках и проводниках.

Магнитный момент - векторная величина, характеризующая элементарный или составной магнит (катушку с током, магнитный диполь), равная произведению силы тока на вектор площади витка; магнитный момент испытывает в магнитном поле момент сил (крутящий момент) $\mathbf{\tau} = \mathbf{\mu}\times \mathbf{B}$ и потенциальную энергию $U = -\mathbf{\mu}\cdot \mathbf{B}$.

Применения и измерение магнитных явлений

Знание силы Лоренца и поведения зарядов в магнитных полях лежит в основе многих приборов: масс-спектрометров, циклотронов, электронно-лучевых трубок, детекторов заряженных частиц. В практических задачах используют формулы для радиуса и частоты обращения, а также законы суперпозиции полей и методы интегрального и дифференциального вычисления поля.

Измерение магнитного поля чаще всего выполняют с помощью магнетометров, датчиков Холла и катушек магнитного потока. Магнитный поток через поверхность S определяется интегралом скалярного произведения индукции на элемент площади: $\Phi = \int \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}$ и служит основой для описания явлений электромагнитной индукции (хотя подробности индукции выходят за рамки этой темы).

Итоговые навыки: уметь применять векторную форму силы Лоренца и её модуль, рассчитывать траектории заряженных частиц в однородном поле, находить поля простых токовых систем по формулам Био-Савара и для прямого провода, а также понимать физические следствия того, что магнитная сила не совершает работу над зарядом.