Криволинейное движение

Введение и основные понятия

Криволинейное движение — это движение материальной точки по траектории, которая представляется в виде кривой в пространстве или на плоскости. В отличие от прямолинейного движения, здесь направление скорости изменяется со временем, поэтому важно рассматривать не только модуль скорости, но и её направление и связанные с этим компоненты ускорения.

Криволинейное движение - движение тела по траектории, отличной от прямой, при котором направление скорости меняется со временем.

Кинематически положение точки задаётся радиус-вектором — функцией времени, и на его основе определяются скорость и ускорение. Скорость как векторная величина определяется через производную радиус-вектора по времени $\\vec v = \\dfrac{d\\vec r}{dt}$ , а её модуль (скалярная скорость) через норму этого вектора $v = \\left\\|\\dfrac{d\\vec r}{dt}\\right\\|$ . Ускорение определяется второй производной по времени $\\vec a = \\dfrac{d\\vec v}{dt} = \\dfrac{d^2\\vec r}{dt^2}$ .

Для удобства анализа траектории используют также понятие удлинённой координаты (длину дуги) s, по которой скорость может быть выражена как производная длины дуги по времени $v = \\dfrac{ds}{dt}$ . Направление вдоль траектории задаётся единичным касательным вектором $\\vec\\tau = \\dfrac{\\vec v}{v}$ .

Кинематика криволинейного движения

Скорость точки в любой момент времени характеризуется величиной и направлением. Вектор скорости даётся выражением $\\vec v = \\dfrac{d\\vec r}{dt}$ , его модуль записан как $v = \\left\\|\\dfrac{d\\vec r}{dt}\\right\\|$ . Если траектория задаётся параметрически через координаты x(t), y(t), z(t), то компоненты скорости находятся как производные координат по времени, а ускорение как производные скоростей.

Скорость - векторная физическая величина, равная производной радиус-вектора точки по времени $\\vec v = \\dfrac{d\\vec r}{dt}$ ; её модуль равен скорости вдоль траектории $v = \\left\\|\\dfrac{d\\vec r}{dt}\\right\\|$ .

Ускорение - производная скорости по времени, либо вторая производная радиус-вектора по времени $\\vec a = \\dfrac{d\\vec v}{dt} = \\dfrac{d^2\\vec r}{dt^2}$ .

В криволинейном движении ускорение можно разложить на две независимые составляющие: касательную (тангенциальную), отвечающую за изменение модуля скорости, и нормальную (центростремительную), отвечающую за изменение направления скорости. Это разложение удобно для анализа и численного расчёта динамики точки.

Разложение ускорения: касательная и нормальная компоненты

Общее векторное представление ускорения в естественных (Френе) координатах записывается как сумма касательной и нормальной компонент $\\vec a = a_{\\tau}\\,\\vec\\tau + a_n\\,\\vec n$ . Касательная компонента равна производной модуля скорости по времени $a_{\\tau} = \\dfrac{dv}{dt}$ и направлена по касательному вектору.

Нормальная компонента связана с кривизной траектории и направлена в сторону нормали к траектории (внутрь кривизны). Её величина выражается через скорость и радиус кривизны $a_n = \\dfrac{v^2}{\\rho}$ , где радиус кривизны связан с кривизной как обратная величина $\\rho = \\dfrac{1}{\\kappa}$ .

Касательное ускорение - компонент ускорения, отвечающая за изменение величины скорости; выражается формулой $a_{\\tau} = \\dfrac{dv}{dt}$ .

Нормальное ускорение - компонент ускорения, вызывающая изменение направления скорости; величина нормального ускорения равна $a_n = \\dfrac{v^2}{\\rho}$ , где — — радиус кривизны.

Понятие кривизны и радиуса кривизны

Кривизна траектории — это количественная характеристика того, насколько сильно кривая отклоняется от прямой в данной точке. Формально кривизна определяется как норма производной касательного вектора по длине дуги $\\kappa = \\left\\|\\dfrac{d\\vec\\tau}{ds}\\right\\|$ . Радиус кривизны — обратная величина кривизны $\\rho = \\dfrac{1}{\\kappa}$ .

В случае плоской параметрической траектории x(t), y(t) существует удобная формула для расчёта кривизны через первые и вторые производные координат по параметру (обычно по времени или по параметру s): $\\kappa = \\dfrac{|x'' y'''' - y'' x''''|}{(x''^2 + y''^2)^{3/2}}$ . Альтернативная форма, применимая и в пространстве, через векторные величины скорости и ускорения имеет вид $\\kappa = \\dfrac{\\|\\vec v \\times \\vec a\\|}{\\|\\vec v\\|^3}$ .

Важное частное положение — при равномерном движении по окружности (радиус R) нормальное ускорение совпадает с центростремительным и равно $a_c = \\dfrac{v^2}{R}$ . Связь между линейной скоростью, угловой скоростью и радиусом при круговом движении записывается как $v = \\omega R$ , а альтернативная форма центростремительного ускорения через угловую скорость — как $a_c = \\omega^2 R$ .

{IMAGE_0}

Полярные (радиальные) и тангенциальные компоненты движения

Для анализа движения в плоскости удобно использовать полярные координаты (r, θ). В этих координатах вектор скорости имеет две компоненты: радиальную и поперечную (тангенциальную), выражаемые формулой $\\vec v = \\dot r\\,\\hat r + r\\dot\\theta\\,\\hat\\theta$ . Это выражение показывает, что даже при изменении только радиуса r точка имеет радиальную скорость, а при изменении угла — тангенциальную.

Соответственно полярное выражение для ускорения содержит как радиальные, так и поперечные части: $\\vec a = (\\ddot r - r\\dot\\theta^2)\\,\\hat r + (r\\ddot\\theta + 2\\dot r\\dot\\theta)\\,\\hat\\theta$ . Здесь видно появление дополнительного слагаемого 2 ṙ θ̇ в поперечной компоненте, которое называют кориолисовой в контексте движений в полярных координатах; оно отражает взаимодействие радиального и углового движений.

Полярные координаты - система координат, в которой положение точки задаётся расстоянием до начала координат r и углом θ; в этих координатах удобно описывать центрально-симметричные движения.

Френе-формулы и геометрическая интерпретация

Единичный касательный вектор определяется как нормированная скорость $\\vec\\tau = \\dfrac{\\vec v}{v}$ . Производная этого вектора по длине дуги пропорциональна нормали, и коэффициент пропорциональности есть кривизна: $\\dfrac{d\\vec\\tau}{ds} = \\kappa\\,\\vec n$ . Это основа френе-описывания геометрии кривой и даёт интуитивное понимание происхождения нормального ускорения.

Практически, эти соотношения позволяют находить направление нормальных и касательных составляющих ускорения и связывать геометрические параметры траектории (кривизну, радиус кривизны) с кинематическими величинами (скоростью и ускорением).

Примеры

Пример 1. Равномерное круговое движение: скорость по модулю постоянна, направление меняется по окружности радиуса R. Линейная скорость связана с угловой скоростью как $v = \\omega R$ . Центростремительное ускорение при этом равно $a_c = \\dfrac{v^2}{R}$ , или через угловую скорость $a_c = \\omega^2 R$ . Это простая и важная модель для понимания центростремительных сил и их роли в криволинейном движении.

Пример 2. Движение с переменной скоростью по кривой: представим, что скорость меняется по закону v(t). Тогда касательная компонента ускорения находится по формуле $a_{\\tau} = \\dfrac{dv}{dt}$ , а нормальная — по формуле $a_n = \\dfrac{v^2}{\\rho}$ . Комбинация этих двух величин даёт полный вектор ускорения $\\vec a = a_{\\tau}\\,\\vec\\tau + a_n\\,\\vec n$ .

Пример 3. Проекция траектории снаряда (баллистика) — типичный пример плоского криволинейного движения. Параметрические уравнения движения при отсутствии сопротивления воздуха имеют вид $x(t) = v_0 \\cos\\alpha\\, t$ и $y(t) = v_0 \\sin\\alpha\\, t - \\dfrac{1}{2} g t^2$ . Скорость тела в любой момент определяется как модуль проекций скоростей по осям, что даёт выражение $v(t) = \\sqrt{(v_0\\cos\\alpha)^2 + (v_0\\sin\\alpha - g t)^2}$ . На основе этого можно рассчитывать кривизну траектории в каждой её точке, а также касательную и нормальную составляющие ускорения (здесь роль нормальной компоненты выполняет сила тяжести, проецируемая на нормаль к траектории).

{IMAGE_1}

Практические замечания и задачи для практики

При решении задач по криволинейному движению важно внимательно выбирать систему координат (декартова, полярная или естественные координаты Френе) так, чтобы упростить вычисления. Часто выгодно перейти к полярным координатам для движения около центра или к естественным координатам для движения вдоль заданной кривой.

Типовые задачи включают: нахождение нормальной и касательной компонент ускорения при заданной траектории и законе скорости; вычисление радиуса кривизны и кривизны по аналитическому уравнению кривой; анализ равномерного и неравномерного кругового движения. Для проверки понимания полезно решить несколько задач с использованием формул, приведённых выше.

Совет - всегда проверяйте размерности физических величин при подстановке численных значений: кривизна имеет размерность 1/длина, ускорение — длина/время^2, скорость — длина/время.

Основные

Курсы

Другое