Взаимно обратное число

В математике под взаимно обратным числом обычно понимают такое число, при умножении на которое данное число даёт единицу. Формально это возможно только для ненулевых чисел: $a \neq 0$. Если $a \cdot a^{-1} = 1$, то обозначение взаимно обратного может выглядеть как $a^{-1}$ или как дробь $\dfrac{1}{a}$. Такое определение подчёркивает, что операция «взятие обратного» является отношением, связывающим два числа через произведение, равное единице.

Взаимно обратные числа имеют простые арифметические свойства, которые широко используются при преобразовании выражений и решении уравнений. Например, обратное произведению двух чисел равно произведению обратных в обратном порядке: $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$. Для дроби правило даёт привычную формулу: $\left(\dfrac{p}{q}\right)^{-1} = \dfrac{q}{p}$. Важно помнить, что нулю взаимно обратного числа не существует, то есть число $0$ не имеет обратного, поскольку нет такого числа, чьё произведение с нулём давало бы единицу. Наглядно понятие можно изобразить схемой или иллюстрацией: {IMAGE_0}.

Практически взятие обратного часто используется для замены деления умножением: дробь или выражение вида «делить на b» эквивалентно умножению на обратное b, то есть $\dfrac{a}{b} = a\cdot b^{-1}$. Это удобнее при сокращении дробей, упрощении выражений и вычислениях с рациональными функциями. Для целого числа n взаимно обратное — это дробь $\dfrac{1}{n}$. Примеры и упражнения помогают закрепить эти правила и увидеть, как обратные числа упрощают вычисления.