Умножение

Умножение — это одна из базовых арифметических операций, которая связывает две величины и задаёт число, равное сумме одинаковых слагаемых. Произведение чисел обычно записывают через точку, крестик или просто рядом стоящие символы; это обозначение можно представить как $a\cdot b$. В школьном понимании умножение на натуральное число можно интерпретировать как повторное сложение: если одно и то же число складывается $\underbrace{a+\dots +a}_{b\text{ раз}} = a\cdot b$, то полученное значение и есть их произведение. Умножать можно целые числа, дроби и вещественные числа — правила обобщаются, при этом обращают внимание на знак результата при умножении отрицательных чисел и на работу с дробями и десятичными дробями.

Умножение обладает рядом важных свойств, которые делают его удобным инструментом при вычислениях и преобразованиях выражений. Оно коммутативно ($a\cdot b = b\cdot a$), то есть менять местами множители не меняет результата, и ассоциативно ($(a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)$), что позволяет переставлять скобки при вычислении нескольких множителей. Одна из ключевых связей с другими операциями — дистрибутивность относительно сложения ($a\cdot(b+c)=a\cdot b + a\cdot c$), благодаря чему умножение распределяется по сумме. Особые случаи включают единицу как нейтральный элемент ($1\cdot a = a$) и ноль, обращающий любое произведение в ноль ($0\cdot a = 0$). Геометрическая интерпретация умножения часто даётся через площадь прямоугольника с длинами сторон, равными множителям ({IMAGE_0}), а в алгебре умножение используется для масштабирования величин, упрощения выражений и задания степеней, где степень определяется как повторное умножение основания $a^n = \underbrace{a\cdot a\cdot\dots\cdot a}_{n\text{ раз}}$ ({IMAGE_1}).