Тождество

Тождество — это равенство между выражениями, которое верно для всех допустимых значений переменных, входящих в эти выражения. В математике тождество отличают от уравнения тем, что уравнение может быть истинным лишь при некоторых значениях переменных, тогда как тождество выполняется универсально. Часто тождества записывают в виде равенств, которые получаются путём преобразований выражений (раскрытие скобок, приведение подобных членов, использование тригонометрических или логарифмических свойств). В качестве типичного алгебраического примера можно привести классическое квадратное разложение — $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Тождества широко применяются в разных разделах математики: при упрощении выражений, в доказательствах, при решении уравнений и неравенств, в тригонометрии и аналитической геометрии. Они служат инструментом для замены сложных частей выражения на более простые эквивалентные формы, что облегчает вычисления и доказательства. Например, тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ позволяет преобразовывать тригонометрические выражения и упрощать интегралы и суммы. При работе с тождествами важно проверять область определения выражений и быть уверенным, что преобразования не вводят новых ограничений.