Степень одночлена

Степень одночлена — это числовая характеристика, равная сумме показателей при всех переменных в одночлене. Общий вид одночлена удобно записать как $a x_1^{k_1} x_2^{k_2} \dots x_n^{k_n}$. Тогда под степенью понимают сумму показателей: $\deg\bigl(a x_1^{k_1} \dots x_n^{k_n}\bigr) = k_1 + \dots + k_n$. В школьной алгебре под одночленом обычно понимают выражение, представляющееся в виде произведения числового коэффициента и переменных с неотрицательными целыми показателями; для таких одночленов степень является неотрицательным целым числом. Обратите внимание: при коэффициенте, равном нулю, говорят, что одночлен равен нулю, и стандартное определение степени для нуля не применяется.

Знание степени одночлена важно для работы с многочленами и при упорядочивании членов. Степень произведения одночленов равна сумме их степеней, что удобно при разложении, при умножении и при вычислении старшей степени в многочлене. Степень ненуллого постоянного одночлена (константы) равна нулю: пример такого одночлена — $7$, и его степень равна $\deg(7)=0$. Одночлен нулевой: $0$; для него степень по общему соглашению не определена: $\deg(0)\text{ не определена}$. Кроме того, степень суммы одночленов не превосходит максимальной степени слагаемых, и это свойство часто используется при упрощении выражений и при нахождении степени многочлена.

На практике степень одночлена помогает быстро оценить «вес» члена в многочлене, выбрать старший член при делении или при исследовании поведения многочлена при больших значениях переменной. Например, для многочлена $P(x)=2x^{3}+x^{5}+7x^{2}$ его степень равна $\deg P = 5$, поэтому при x→∞ вклад члена старшей степени доминирует над остальными.

{IMAGE_0}