Сокращение дроби

Сокращение дроби — это стандартная операция, при которой числитель и знаменатель дроби делятся на одно и то же натуральное число, не равное единице, чтобы получить дробь, равную исходной, но с меньшими по величине числом и знаменателем. Такой процесс позволяет представить дробь в простейшем виде и не изменяет её числового значения. Формально исходную дробь можно записать как $\dfrac{a}{b}$, а после деления на общий делитель g получить эквивалентное представление $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a/g}{b/g}$, где g — наибольший общий делитель числителя и знаменателя ($g=\gcd(a,b)$).

Сокращение широко используется для упрощения вычислений, сравнения дробей и приведения результата в канонический вид перед дальнейшей работой с выражениями. Практические способы сокращения включают деление на явные общие множители, разложение чисел на простые множители или применение алгоритма Евклида для нахождения наибольшего общего делителя. Важное свойство: после сокращения в простейший вид числитель и знаменатель становятся взаимно простыми — их наибольший общий делитель равен единице ($a''=\dfrac{a}{g},\qquad b''=\dfrac{b}{g},\quad \gcd(a'',b'')=1$). Это гарантирует, что дробь больше нельзя сократить без изменения её значения.