Случайная (стохастическая) погрешность

Случайная погрешность — это непредсказуемое отклонение результатов измерений от истинного значения, обусловленное случайными флуктуациями в процессе наблюдения. Такие погрешности моделируют как случайную величину X с нулевым математическим ожиданием $E(X)=0$ и дисперсией $\mathrm{Var}(X)=\sigma^2$. Это значит, что в среднем срабатывают как положительные, так и отрицательные отклонения, но отдельные измерения разбросаны вокруг истинного значения с характерной шириной, задаваемой стандартным отклонением σ.

Практическое значение случайных погрешностей в том, что их можно уменьшить статистическими методами: при повторных независимых измерениях среднее значение имеет меньшую неопределённость. Если выполнить n независимых измерений, стандартная ошибка среднего снижается приблизительно как $\sigma_{\bar X}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Для объединения независимых источников случайных погрешностей используется правило суммирования дисперсий: суммарное стандартное отклонение определяется как $\sigma_{\mathrm{tot}}=\sqrt{\sum_i\sigma_i^2}$. В экспериментальной практике вместо неизвестной истинной σ часто оценивают по выборке с помощью выборочного стандартного отклонения $s=\sqrt{\dfrac{1}{n-1}\sum_{k=1}^n(x_k-\bar x)^2}$.

Важно помнить, что случайные погрешности отличаются от систематических: первые можно уменьшить усреднением и оценить статистически, вторые — смещают результаты и требуют дополнительной калибровки или исправления метода. На иллюстрации ниже показан пример распределения случайных погрешностей и эффекта усреднения: {IMAGE_0}.