Радиан

Радиан — это единица измерения углов, основанная на соотношении длины дуги окружности к радиусу этой окружности. Иными словами, угол в радианах равен отношению длины соответствующей дуги к радиусу круга, от которого эта дуга отрезана. Это соотношение записывают формулой $\theta = \frac{s}{r}$, которая показывает, что радиан безразмерен (величина получается как частное длин), поэтому радианы удобно использовать в задачах, где важна связь угла с длиной дуги и координатами точки на окружности. Также часто пользуются формулой для длины дуги, выраженной через радианы: $s = r\theta$.

Практическое значение радиана велико: в математическом анализе и тригонометрии ряды и производные тригонометрических функций естественно выражаются именно при использовании радиан, что упрощает вычисления и делает формулы более компактными. Для перехода от привычных градусов к радианам служит соотношение между полным оборотом в градусах и радианах: $\pi\ \text{рад} = 180^\circ$. Отсюда вытекает формула преобразования величин из градусов в радианы: если угол в градусах обозначен через α, то в радианах он равен $\varphi = \alpha \cdot \dfrac{\pi}{180}$. Такие формулы применяются при решении задач на вращение, угловую скорость, колебания и волны, где единица «рад» обеспечивает корректность размерности при дифференцировании по времени.