Производная

Производная функции в точке — это предел отношения изменения значения функции к малому изменению аргумента, если этот предел существует. Формально это определяют как разность частиц при стремлении приращения к нулю: $f''(x)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$. Понятие производной даёт точное числовое описание того, как быстро меняется функция в данной точке; если предел существует, говорят, что функция дифференцируема в этой точке. Дифференцируемость в точке влечёт её непрерывность, но обратное утверждение неверно: непрерывная функция может не иметь производной.

Производная имеет важные геометрические и прикладные интерпретации. Геометрически производная в точке равна угловому коэффициенту (наклону) касательной к графику функции в этой точке, что можно записать в виде линейного приближения: $y\approx f(x_0)+f''(x_0)(x-x_0)$. В физике производная описывает мгновенную скорость изменения величины: скорость как производная перемещения по времени. На практике производные применяют для исследования экстремумов функций, построения приближений, решения задач оптимизации и моделирования динамических процессов. Для вычислений используются упорядоченные правила (линейность, правило произведения, частного и цепное правило), которые позволяют получать производные сложных выражений из простых.