Преобразование обратно

Преобразование обратно — это операция, которая по образу некоторого преобразования восстанавливает исходный объект. Формально, если задано отображение или оператор, то его обратное преобразование возвращает такой оператор, применение которого к образу даёт начальный элемент. В линейной алгебре для биективного линейного оператора T: V → W существует обратный оператор T^{-1}: W → V, причём выполняются соотношения $T^{-1}T = I_V,\quad TT^{-1} = I_W$. Для отображений множества в множество обратное отображение f^{-1} удовлетворяет условиям композиции $(f^{-1}\circ f)(x)=x,\quad (f\circ f^{-1})(y)=y$. Существование обратного преобразования требует определённых свойств исходного преобразования (например, биективности), и без них операция обратного преобразования либо не существует, либо не однозначна.

Преобразования обратно широко используются в прикладных задачах: решении линейных систем, восстановлении сигналов и изображений, обратных задачах физики и инженерии. В теории сигналов обратное преобразование Фурье позволяет перейти от спектра обратно к временному сигналу, что записывается в виде $\mathcal{F}^{-1}\{\hat f(\omega)\}(t)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat f(\omega)e^{i\omega t}\,d\omega$, а обратное преобразование Лапласа восстанавливает временную функцию по её образу в области s: $\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}(t)=\dfrac{1}{2\pi i}\int_{\gamma-i\infty}^{\gamma+i\infty}F(s)e^{st}\,ds$. На практике численное вычисление обратных преобразований может быть неустойчивым: малая погрешность в образе может дать большую ошибку при восстановлении (проблема некорректности обратной задачи). Кроме того, в дискретных системах обратимость связана с обращаемостью матриц, например для матрицы A справедливо $A^{-1}A=I$, когда A невырожденна.