Погрешность округления

Погрешность округления — это разница между приближённым значением числа, полученным в результате операции округления, и его истинным (математически точным) значением. Обозначая истинное число через x, а округлённое через \tilde{x}, погрешность обычно записывают как $\tilde{x}-x$. Важно различать абсолютную и относительную погрешности: абсолютная погрешность равна модулю разности $|\varepsilon|=|\tilde{x}-x|$, а относительная погрешность показывает отношение этой разности к истинному значению и выражается формулой $\delta=\dfrac{\tilde{x}-x}{x}$. Эти определения дают строгое числовое представление того, насколько результат округления отклоняется от истинного значения.

При округлении числа до n десятичных знаков обычно справедливо ограничение на величину абсолютной погрешности: она не превышает половины единицы в последнем учтённом разряде, то есть не более $|\varepsilon|\le\dfrac{1}{2}\,10^{-n}$. В более общем контексте представления чисел в компьютере вводится понятие «единицы в последнем разряде» (ULP), и для округления до ближайшего представимого значения справедливо неравенство $|\varepsilon|\le\dfrac{1}{2}\mathrm{ulp}(x)$. Погрешность округления важна при оценке точности вычислений: в отдельных операциях она невелика, но при последовательных операциях и при вычитании близких по значению чисел ошибки могут накапливаться. При анализе влияния погрешности на функцию f часто используют приближение погрешности результата через производную: $\Delta f\approx f''(x)\,\varepsilon$, что даёт линейную оценку чувствительности результата к малому отклонению входного аргумента.

Практическое применение понятия погрешности округления охватывает все численные вычисления: анализ погрешностей помогает выбирать формат представления чисел, количество значащих цифр и методы обработки, минимизирующие накопление ошибок. Для уменьшения влияния округления применяют методы с защитными разрядами, вычисления в повышенной точности и алгоритмы, устойчевые к вычитанию близких чисел. Далее приведены простые примеры, иллюстрирующие численные значения погрешностей.