Нулевая точка (нулевой элемент)

Нулевая точка, или нулевой элемент, в математике — это универсальное понятие, означающее такой элемент множества с заданной алгебраической операцией, который при действии этой операции с любым другим элементом оставляет последний неизменным (в случае тождественного элемента) или «поглощает» его (в случае абсорбирующего элемента). В самых распространённых контекстах под нулевой точкой понимают аддитивную нейтральную величину: для любого элемента a справедливо равенство $a+0=a$. Это свойство делает нулевой элемент опорной точкой для определения противоположных элементов, линейной независимости, ядра линейных преобразований и многих других конструкций.

Нулевой элемент встречается в различных структурах: векторный ноль в линейной алгебре, нулевая матрица в матричных операциях, нулевая функция в функциональных пространствах и ноль в кольцах и полях. В кольцах и полугруппах при умножении часто появляется абсорбирующий ноль: для любого r выполняется $0\cdot r=0$. Нулевой элемент векторного пространства обычно обозначают как $\mathbf{0}$ и он уникален: если элементы e и e'' оба удовлетворяют определению нейтрального для сложения, то, используя свойства операции, получаем $e+e''=e\;\Rightarrow\;e=e''$, откуда следует e = e''. Наличие нулевого элемента упрощает формулировки теорем (например, условие нулевого вектора в ядре оператора) и служит точкой отсчёта при измерении расстояний и норм (часто ноль — единственная точка с нулевой нормой). {IMAGE_0}