Нуль

Нуль — это число, обозначающее отсутствие количества; в числовой прямой оно располагается в центре, разделяя положительные и отрицательные значения. В алгебре нуль выступает как аддитивный нейтральный элемент: при добавлении нуля к любому числу результат равен самому этому числу $a+0=a$. Нуль принадлежит множествам целых, рациональных и действительных чисел и обладает рядом характерных свойств, которые делают его важным понятием во всех разделах математики. На схеме числовой прямой нуль обычно отмечают как начало координат {IMAGE_0}.

Свойства нуля просты, но фундаментальны. При умножении любого числа на нуль получается нуль $a\\cdot0=0$; это правило вытекает из аксиом арифметики и линейной структуры чисел. Факториал нуля определяется равным единице по соглашению, что облегчает формулы комбинаторики и аналитической теории рядов $0!=1$. Уравнения с нулём часто характеризуют особые случаи: если при некотором ненулевом коэффициенте произведение равно нулю, то неизвестная должна быть нулём $ax=0\\Rightarrow x=0\\text{, если } a\\neq 0$. Деление на нуль не имеет смысла в стандартной арифметике, и запись с делением на нуль считается неопределённой $\\dfrac{a}{0}\\text{ не определено}$.

Нуль встречается и в более общих структурах: в линейной алгебре существует нулевой вектор и нулевая матрица, в теории функций говорят о корне функции, то есть о значении аргумента при котором функция обращается в нуль $f(x)=0$. В прикладных задачах нуль означает отсутствие количества (например, отсутствие сигнала или пустую выборку), а в теоретических построениях он часто служит опорным пунктом для определения порядка, границ и симметрии. Иллюстративно показать положение нуля и его свойства можно с помощью простых примеров.