Некоммутативность

Некоммутативность — это свойство бинарной операции в алгебраической структуре, означающее, что изменение порядка аргументов может менять результат. Другими словами, существуют такие элементы a и b, для которых выполняется $ab\neq ba$. Если же результат не зависит от порядка для любых элементов, говорят, что операция коммутативна. Понятие некоммутативности важно уже на уровне школьной алгебры: не всякая операция умножения над объектами ведёт себя так же, как умножение чисел.

Некоммутативные объекты встречаются в разных разделах математики и её приложениях. Примеры: квадратные матрицы (размером хотя бы 2×2), операторы на функциональных пространствах, некоторые алгебры и группы перестановок. Для количественной оценки «несовпадения» произведений вводят коммутатор, определяемый равенством $[A,B]=AB-BA$. Если коммутатор двух элементов равен нулю, они коммутируют; иначе — нет. Некоммутативность лежит в основе многих явлений: в теории представлений она меняет структуру модулей, в квантовой механике некоммутативность наблюдаемых связана с принципом неопределённости, а в вычислениях порядок операций может влечь за собой принципиально разные результаты.

Для практического понимания полезно видеть простые примеры: даже очень простые матрицы могут не коммутировать, поэтому при умножении матриц нельзя переставлять множители. Некоммутативность требует внимательного отношения к порядку действий при упрощении выражений и доказательстве утверждений; многие тождества, верные в коммутативных алгебрах, в некоммутативном случае требуют дополнительных условий или вовсе не справедливы.