Нейтральный элемент

Нейтральный элемент — это фундаментальное понятие в алгебре, используемое при изучении множеств с бинарной операцией. Формально оно означает, что в структуре (S, •) существует элемент, обозначаемый обычно буквой e, который при применении операции с любым элементом a из S не меняет этот элемент. Это можно записать компактно как $\exists e\in S\ \forall a\in S\ (e\cdot a = a\ \land\ a\cdot e = a)$. Отличие нейтрального элемента от других элементов в том, что он «не вмешивается» в результат операции и тем самым выполняет роль единицы относительно этой операции.

Понятие нейтрального элемента встречается в самых разных алгебраических структурах: в группах, полугруппах, моноидах, кольцах и т. п. Нейтральный элемент вносит в структуру особую симметрию — если он присутствует, то он единственен: если e и e'' оба нейтральны, то из равенств $e\cdot e'' = e''$ и $e\cdot e'' = e$ следует e = e''. Нейтральный элемент может быть «аддитивным» или «умножительным» в зависимости от операции: в случае сложения нейтральным называется ноль, и это выражается равенством $0 + a = a$, а в случае умножения нейтральным называется единица, что формулируется как $1 \cdot a = a$. Иногда различают левый и правый нейтральные элементы, если операция не обладает коммутативностью, — тогда говорят о левом e_L и правом e_R нейтрале, для которых справедливы соответствующие односторонние тождества.